Encontre uma representação em série de potências para f, trace f e várias somas parciais sn(x) na mesma tela. O que acontece quando n cresce?
f(x)=ln (1+x^4)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a série de potências de f(x)=ln(1+x^4), traçar f e diversas somas parciais sₙ(x) no mesmo gráfico e observar o comportamento conforme n cresce. Vamos aplicar a teoria de expansão em série de Taylor/Maclaurin de ln(1+u).

Passo 2

Lembrando da expansão padrão para ln(1+u):
ln(1+u)=sumk=1^infty(-1)^k-1u^kk,|u|<1
Aqui fazemos u=x^4. Substituindo, obtemos a série de f(x).

Passo 3

Substituindo u=x^4 na série acima resulta em
ln(1+x^4)=sumk=1^infty(-1)^k-1x^4kk
Essa expressão vale enquanto |x^4|<1, ou seja, |x|<1. Nos pontos x=±1 temos série alternada em 1/k, que converge condicionalmente por critério de Leibniz.

Passo 4

Definimos as somas parciais
sn(x)=sumk=1^n(-1)^k-1x^4kk
Ao traçar f(x) e s_n(x) para valores de n crescentes (por exemplo n=1,3,5,10) num domínio como [-1.5,1.5], vemos que dentro de |x|<1 cada s_n aproxima melhor f à medida que n aumenta.
Quando n cresce, as somas parciais oscilam menos e se aproximam uniformemente de ln(1+x^4) em qualquer intervalo dentro de |x|<1. Para |x|>1 a série diverge e as somas parciais não se estabilizam.

Passo 5

final_answer

Resposta

ln(1+x^4)=sumk=1^infty(-1)^k-1x^4kk,|x|<1

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