Encontre uma representação em série de potências para
, trace
e várias somas parciais
na mesma tela. O que acontece quando
cresce?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a série de potências de f(x)=ln(1+x^4), traçar f e diversas somas parciais sₙ(x) no mesmo gráfico e observar o comportamento conforme n cresce. Vamos aplicar a teoria de expansão em série de Taylor/Maclaurin de ln(1+u).
Passo 2
Lembrando da expansão padrão para ln(1+u):
Aqui fazemos u=x^4. Substituindo, obtemos a série de f(x).
Passo 3
Substituindo u=x^4 na série acima resulta em
Essa expressão vale enquanto |x^4|<1, ou seja, |x|<1. Nos pontos x=±1 temos série alternada em 1/k, que converge condicionalmente por critério de Leibniz.
Passo 4
Definimos as somas parciais
Ao traçar f(x) e s_n(x) para valores de n crescentes (por exemplo n=1,3,5,10) num domínio como [-1.5,1.5], vemos que dentro de |x|<1 cada s_n aproxima melhor f à medida que n aumenta.
Quando n cresce, as somas parciais oscilam menos e se aproximam uniformemente de ln(1+x^4) em qualquer intervalo dentro de |x|<1. Para |x|>1 a série diverge e as somas parciais não se estabilizam.
Quando n cresce, as somas parciais oscilam menos e se aproximam uniformemente de ln(1+x^4) em qualquer intervalo dentro de |x|<1. Para |x|>1 a série diverge e as somas parciais não se estabilizam.
Passo 5
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