Encontre o jacobiano partial(x, y) / partial(u, v) para a transformaçào
x=u sen v, y=u cos v.

Passo 1

A gente quer encontrar o jacobiano partial(x,y)partial(u,v) para a transformação x=u,sin v e y=u,cos v. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e determinante de matriz 2×2. Vamos usar a definição de jacobiano como o determinante da matriz das derivadas parciais:
partial(x,y)partial(u,v) = det partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v

Passo 2

Agora vamos calcular todas as derivadas parciais de x e y em relação a u e v:
partial xpartial u = sin v, partial xpartial v = u,cos v,
partial ypartial u = cos v, partial ypartial v = -u,sin v

Passo 3

Em seguida, montamos a matriz jacobiana e calculamos seu determinante:
J = det sin v & u,cos v cos v & -u,sin v = sin vcdot(-u,sin v) - (u,cos v)cdotcos v

Passo 4

Para finalizar, simplificamos o determinante usando a identidade trigonométrica sin^2 v + cos^2 v = 1:
J = -u,sin^2 v - u,cos^2 v = -u,(sin^2 v + cos^2 v) = -u

Resposta

-u

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