Ache os pontos onde a reta tangente ao gráfico de f(x)=x^3-3 x tem inclinação 35.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisa encontrar os pontos onde a reta tangente ao gráfico dessa função tem inclinação igual a . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função f(x) = x^3 - 3x . A derivada, representada por f'(x) = ddx(x^3) - ddx(3x) , nos dá a inclinação da reta tangente em cada ponto f'(x) = 3x^2 - 3 da função.
A função dada é:
Aplicando as regras de derivação:

Passo 3

Agora que temos a expressão para 3x^2 - 3 = 35 , vamos igualar essa derivada à inclinação que queremos, que é 5(3x^2 - 3) = 3 :
15x^2 - 15 = 3
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de 15x^2 = 3 + 15 .
Primeiro, multiplicamos todos os termos por 5 para eliminar o denominador:
15x^2 = 18
x^2 = 1815
Em seguida, isolamos os termos com x^2 = 65 :
x = pm raiz65
x = pm raiz305
Dividimos os dois lados por 15:
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada dos dois lados:

Passo 4

Agora que temos os valores de f(raiz305) = (raiz305)^3 - 3(raiz305) , vamos encontrar os correspondentes valores de f(raiz305) = 30raiz30125 - 3raiz305 usando a função original f(raiz305) = 30raiz30125 - 75raiz30125 :
Para f(raiz305) = -45raiz30125 = -9raiz3025 :
f(-raiz305) = (-raiz305)^3 - 3(-raiz305)
f(-raiz305) = -30raiz30125 + 3raiz305
f(-raiz305) = -30raiz30125 + 75raiz30125
f(-raiz305) = 45raiz30125 = 9raiz3025
Para :

Resposta

Os pontos onde a reta tangente ao gráfico de ( raiz305, -9raiz3025 ) e ( -raiz305, 9raiz3025 ) tem inclinação são:

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