Ache lim n infty raiz[n]an, e use o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.
sumn=1^infty(nln n)^n

Passo 1

O enunciado pede para achar limntoinftyraiz[n]an onde an=l(nln nr)^n, e usar o teste da raiz para verificar convergência da série sumn=1^inftyan. Vamos precisar da definição do teste da raiz, que diz: se L=limntoinftyraiz[n]an, então a série converge se L<1, diverge se L>1 e o teste é inconclusivo se L=1.

Passo 2

Escrevemos o termo geral e extraímos a n-ésima raiz: temos an=l(nln nr)^n. Então
Isolamos a n-ésima raiz do termo geral:
embedding the formula
Observamos que à medida que ntoinfty, temos
concluímos que
com base no teste da raiz, concluímos que

Resposta

Como limntoinftyraiz[n]an=infty>1, a série diverge pelo teste da raiz.

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