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lim x 2 raizx^3+2 x+3x^2+5
Utilizando os teoremas de limites.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto 2 raizx^3 + 2x + 3x^2 + 5
Isso envolve os teoremas de limites para soma, produto, quociente e a continuidade da raiz quadrada e de polinômios.

Passo 2

Primeiro, calculamos o limite do numerador usando que limite de soma é soma de limites e que polinômios são contínuos:
limxto 2(x^3 + 2x + 3) = limxto 2x^3 + limxto 22x + limxto 23 = 2^3 + 2cdot2 + 3 = 8 + 4 + 3 = 15

Passo 3

Em seguida, calculamos o limite do denominador da mesma forma:
limxto 2(x^2 + 5) = limxto 2x^2 + limxto 25 = 2^2 + 5 = 4 + 5 = 9

Passo 4

Agora aplicamos o teorema do quociente (desde que o limite do denominador seja não nulo):
limxto 2x^3 + 2x + 3x^2 + 5 = limxto 2(x^3 + 2x + 3)limxto 2(x^2 + 5) = 159 = 53

Passo 5

Por fim, usamos que a raiz quadrada é função contínua em valores positivos, permitindo levar o limite para dentro da raiz:
limxto 2 raizx^3 + 2x + 3x^2 + 5 = raizlimxto 2x^3 + 2x + 3x^2 + 5 = raiz53

Resposta

raiztfrac53

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