Defina
e determine o maior intervalo (ou união de intervalos) em que a função é contínua:
Passo 1
Então, a gente vai resolver um exercício sobre funções compostas e continuidade. Temos duas funções:
A gente vai definir a função composta $ f \circ g $ e descobrir o maior intervalo onde essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que significa função composta e condições de continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que é $ f \circ g $. Isso significa que a gente vai aplicar a função $ g $ primeiro e depois aplicar a função $ f $ no resultado. Matematicamente, fica assim:
Então, substituímos $ g(x) $ na função $ f $:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Sabemos que a raiz cúbica e a raiz quadrada são potências fracionárias:
Então, a função composta fica:
Passo 4
Para determinar onde essa função é contínua, precisamos analisar o domínio dela, ou seja, para quais valores de $ x $ a expressão faz sentido. A função $ (x+1)^{1/6} $ é uma raiz de índice par, porque 6 é par. Para raízes de índice par, o radicando precisa ser maior ou igual a zero:
Passo 5
Além disso, as funções $ f(x) = \sqrt[3]{x} $ e $ g(x) = \sqrt{x+1} $ precisam ser contínuas nos seus respectivos domínios. A raiz cúbica é contínua para todo $ x $, e a raiz quadrada é contínua para $ x \geq -1 $. Portanto, a função composta $ (f \circ g)(x) $ também será contínua no intervalo onde $ x \geq -1 $.
Resposta
A função composta é $ (f \circ g)(x) = (x+1)^{1/6} $ e é contínua para todos os $ x $ tais que $ x \geq -1 $.