Para a função f(x)=1 / raizx-1, ache f^prime(7) aplicando a fórmula abaixo
f^prime(x1)=lim x x1 f(x)-f(x1)x-x1

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a definição de derivada por limite em x₁=7 para a função f(x)=1/√(x−1). O conteúdo envolvido é derivada pelo quociente incremental e vamos precisar racionalizar expressões com raízes.

Passo 2

Primeiro, calcule f(7) e escreva o quociente incremental. Temos f(7)=1/√6 e f(x)=1/√(x−1), então
f(x)-f(7)x-7 =1raizx-1-1raiz6x-7

Passo 3

Agora, junte as frações no numerador:
1raizx-1-1raiz6 =raiz6-raizx-1raizx-1,raiz6
Então o quociente fica
f(x)-f(7)x-7 =raiz6-raizx-1(x-7),raizx-1,raiz6

Passo 4

Racionalize o numerador multiplicando numerador e denominador por (√6+√(x−1)). No numerador aparece 6−(x−1)=7−x=−(x−7), e obtemos
-(x-7)(x-7),raizx-1,raiz6, (raiz6+raizx-1) =-1raizx-1,raiz6,(raiz6+raizx-1)

Passo 5

Por fim, faça x→7: √(x−1)→√6 e √6+√(x−1)→2√6. Logo
f'(7)=limxto7f(x)-f(7)x-7 =-1raiz6,raiz6,(2raiz6) =-112raiz6

Resposta

-\nfrac{1}{12\sqrt{6}}

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