Ache um limitante superior para o erro, quando aproximamos a soma da série infinita dada pela soma dos quatro primeiros termos.
Passo 1
O enunciado pede um limitante superior para o erro ao aproximar a série infinita
pela soma dos quatro primeiros termos. Ou seja, se
é a soma da série e
é a soma parcial com
, queremos um número
tal que
As informações relevantes dadas são exatamente os termos da série alternada
.
Passo 2
Vamos estudar os termos positivos que aparecem na série alternada. Defina
Mostrar que a série é um caso aplicável do teorema que vamos usar exige verificar duas coisas sobre
:
-
para todo . Isto é claro porque é um recíproco de um quadrado. -
é decrescente e tende a zero quando .
Para ver que
é decrescente observe que, para todo
,
Tomando recíprocos (isto inverte a desigualdade) obtém-se
ou seja
. Portanto
é estritamente decrescente.
Para o limite:
pois o denominador cresce sem limite.
Passo 3
Agora uso o Teorema da Série Alternada (Teorema de Leibniz) que diz o seguinte: se
é uma sequência positiva, decrescente e com
, então a série alternada
converge e o resto após
termos,
, satisfaz
Intuição rápida: os termos alternados fazem os somatórios parciais oscilarem em torno do valor limite e a oscilação máxima restante é limitada pelo primeiro termo omitido.
Como já verificamos as hipóteses para
, podemos aplicar esse teorema.
Passo 4
Queremos o limitante ao aproximar pela soma dos quatro primeiros termos, ou seja
. Pelo teorema,
Calcule
:
Em forma decimal isso é aproximadamente
Passo 5
Conclusão final e interpretação prática: ao somar somente os quatro primeiros termos da série alternada dada, o erro absoluto cometido é no máximo
, ou seja cerca de
. Isso significa que a soma parcial com quatro termos aproxima a soma verdadeira com erro inferior a esse valor — uma garantia simples e útil na prova.