Ache um limitante superior para o erro, quando aproximamos a soma da série infinita dada pela soma dos quatro primeiros termos.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede um limitante superior para o erro ao aproximar a série infinita
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{(2n-1)^{2}}
pela soma dos quatro primeiros termos. Ou seja, se S é a soma da série e S_{4} é a soma parcial com n=1,2,3,4, queremos um número E tal que
|S-S_{4}|\le E.
As informações relevantes dadas são exatamente os termos da série alternada (-1)^{n+1}\dfrac{1}{(2n-1)^{2}}.

Passo 2

Vamos estudar os termos positivos que aparecem na série alternada. Defina
a_{n}=\frac{1}{(2n-1)^{2}},\qquad n=1,2,3,\dots
Mostrar que a série é um caso aplicável do teorema que vamos usar exige verificar duas coisas sobre a_{n}:
  1. a_{n}>0 para todo n. Isto é claro porque é um recíproco de um quadrado.
  2. (a_{n}) é decrescente e tende a zero quando n\to\infty.
Para ver que a_{n} é decrescente observe que, para todo n\ge1,
2n-1 < 2n+1 \quad\Rightarrow\quad (2n-1)^{2} < (2n+1)^{2}.
Tomando recíprocos (isto inverte a desigualdade) obtém-se
\frac{1}{(2n-1)^{2}} > \frac{1}{(2n+1)^{2}},
ou seja a_{n} > a_{n+1}. Portanto (a_{n}) é estritamente decrescente.
Para o limite:
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}=0,
pois o denominador cresce sem limite.

Passo 3

Agora uso o Teorema da Série Alternada (Teorema de Leibniz) que diz o seguinte: se (a_{n}) é uma sequência positiva, decrescente e com \lim_{n\to\infty}a_{n}=0, então a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_{n}
converge e o resto após N termos, R_{N}=S-S_{N}, satisfaz
|R_{N}|\le a_{N+1}.
Intuição rápida: os termos alternados fazem os somatórios parciais oscilarem em torno do valor limite e a oscilação máxima restante é limitada pelo primeiro termo omitido.
Como já verificamos as hipóteses para a_{n}=\dfrac{1}{(2n-1)^{2}}, podemos aplicar esse teorema.

Passo 4

Queremos o limitante ao aproximar pela soma dos quatro primeiros termos, ou seja N=4. Pelo teorema,
|S-S_{4}|\le a_{5}.
Calcule a_{5}:
a_{5}=\frac{1}{(2\cdot 5-1)^{2}}=\frac{1}{9^{2}}=\frac{1}{81}.
Em forma decimal isso é aproximadamente
\frac{1}{81}\approx0,012345679.

Passo 5

Conclusão final e interpretação prática: ao somar somente os quatro primeiros termos da série alternada dada, o erro absoluto cometido é no máximo \dfrac{1}{81}, ou seja cerca de 0,012345679. Isso significa que a soma parcial com quatro termos aproxima a soma verdadeira com erro inferior a esse valor — uma garantia simples e útil na prova.

Resposta

\dfrac{1}{81}\approx0,012345679

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