Ache um limitante superior para o erro, quando aproximamos a soma da série infinita dada pela soma dos quatro primeiros termos.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{n}{(n+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n}{(n+1)^{2}}
e pede um limitante superior para o erro quando aproximamos a soma da série infinita pela soma dos quatro primeiros termos.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral em valor absoluto é \displaystyle a_n=\frac{n}{(n+1)^{2}}.
  • A aproximação usada é a soma parcial com 4 termos, isto é S_4=\sum_{n=1}^{4}(-1)^{n+1}a_n.
  • Deve-se encontrar um bound (limitante superior) para o resto R_4=S-S_4, onde S é a soma da série infinita.

Passo 2

Explicação do resultado teórico que vamos usar (regra de Leibniz para séries alternadas), em linguagem simples:
Se uma série alternada tem a forma \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n com a_n\ge 0 e as três propriedades seguintes valendo:
  1. a_n é monótona decrescente para n suficientemente grande (ou para todo n\ge1);
  2. \lim_{n\to\infty}a_n=0;
    então a série converge e o resto após somar N termos satisfaz a desigualdade
|R_N|=\left|S-\sum_{n=1}^{N}(-1)^{n+1}a_n\right|\le a_{N+1}.
Comentário intuitivo: para uma série alternada com termos que diminuem em módulo, o erro ao truncar após N termos é no máximo o tamanho do primeiro termo omitido.

Passo 3

Verificar as hipóteses da regra para a sequência \displaystyle a_n=\frac{n}{(n+1)^{2}}.
  1. Positividade: para todo n\ge1 tem-se a_n>0 claramente, pois numerador e denominador são positivos.
  2. Limite nulo:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{(n+1)^{2}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{(1+1/n)^{2}} = \frac{0}{1}=0,
portanto \lim_{n\to\infty}a_n=0.
  1. Monotonia decrescente: expliquei de duas maneiras; escolho a via do cálculo (mais direta e rigorosa).
    Defina a função contínua f(x)=\dfrac{x}{(x+1)^{2}} para x\ge1. Calculemos a derivada:
f'(x)=\frac{1-x}{(x+1)^{3}}.
Para x>1 temos 1-x<0 e (x+1)^3>0, então f'(x)<0 para todo x>1. Assim f é decrescente em [1,\infty), e portanto a sequência a_n=f(n) é decrescente para n\ge1 (com f'(1)=0, mas checando valores: a_1=\tfrac{1}{4}, a_2=\tfrac{2}{9} e a_2<a_1, logo é decrescente desde o começo).
Todas as hipóteses da regra de Leibniz estão satisfeitas.

Passo 4

Aplicar a estimativa do resto com N=4. Pela regra de Leibniz:
|R_4|\le a_{5}.
Calcule a_{5}:
a_{5}=\frac{5}{(5+1)^{2}}=\frac{5}{6^{2}}=\frac{5}{36}.
Portanto um limitante superior para o erro ao aproximar a soma da série infinita pela soma dos quatro primeiros termos é \dfrac{5}{36}.

Passo 5

Interpretação numérica rápida (para intuição): \dfrac{5}{36}\approx 0{,}138888\ldots. Isso significa que o erro absoluto da aproximação por S_4 é no máximo cerca de 0{,}139.

Resposta

\dfrac{5}{36}

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