Explique por que a equação
admite uma solução no intervalo
.
(a) Use o método da bissecção para encontrar a raiz com 3 dígitos significativos. É possível mostrar que não há outra raiz?
(b) Tomando
como função de iteração e
como chute inicial, o Método do Ponto Fixo converge?
(c) Qual o número mínimo de iterações
que será realizado pelo algoritmo do método da bissecção para que o erro seja menor que
, iniciando as iterações no intervalo
?
(a) Use o método da bissecção para encontrar a raiz com 3 dígitos significativos. É possível mostrar que não há outra raiz?
(b) Tomando
(c) Qual o número mínimo de iterações
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a equação
no intervalo
:
- mostrar que existe uma solução em
; - (a) usar o método da bissecção para aproximar essa raiz com 3 dígitos significativos e perguntar se existe outra raiz;
- (b) analisar a convergência do método do ponto fixo usando
com ; - (c) calcular o número mínimo de iterações
do método da bissecção para que o erro seja menor que começando em .
Informações dadas e que vamos usar:
- a função relevante é
; - intervalo inicial para bissecção:
; - tolerância para (a): obter 3 dígitos significativos;
- tolerância para (c): erro
.
Passo 2
Existência de solução em
(Teorema do Valor Intermediário).
Defina . Calcula-se
Defina
Como
é contínua (produto e soma de funções contínuas) e
e
têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um
tal que
. Logo existe solução em
.
Passo 3
Unicidade da raiz.
Calcule a derivada
Calcule a derivada
Para todo
tem-se
, isto é,
é estritamente negativa em toda a reta real. Assim
é estritamente decrescente, logo não pode ter duas raízes distintas (se tivesse, uma função estritamente decrescente cortaria o eixo
no máximo uma vez). Conclui-se que existe exatamente uma raiz real de
, portanto a solução em
é única.
Passo 4
Explicação do método da bissecção e critério para 3 dígitos significativos.
- Ideia do método: dado um intervalo
com , calcula-se o ponto médio . Substitui-se o extremo cujos sinais de coincidem por e repete-se, reduzindo o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração até a tolerância desejada. - Cota de erro: após
iterações o comprimento do intervalo é e o erro absoluto na aproximação pelo ponto médio satisfaz
onde
é a raiz real.
- Como converter “3 dígitos significativos” em tolerância absoluta: para garantir que o arredondamento do valor obtido dê os 3 algarismos significativos corretos, basta exigir erro absoluto menor ou igual a
. Assim tomaremos tolerância .
Usando
e a fórmula de erro:
Calcula-se
, logo
e o menor
inteiro que satisfaz é
. Portanto são necessárias
iterações para garantir a precisão pedida.
Passo 5
Executando 10 iterações da bissecção (mostrando intervalos, pontos médios e sinal de
; valores de
aproximados numericamente):
- iteração 1:
, , → novo intervalo . - iteração 2:
, , → novo intervalo . - iteração 3:
, , → novo intervalo . - iteração 4:
, , → novo intervalo . - iteração 5:
, , → novo intervalo . - iteração 6:
, , → novo intervalo . - iteração 7:
, , → novo intervalo . - iteração 8:
, , → novo intervalo . - iteração 9:
, , → novo intervalo . - iteração 10:
, , → novo intervalo .
Após 10 iterações, o ponto médio
é uma aproximação cuja distância ao valor exato é menor que
(de fato
). Arredondando
com 3 dígitos significativos obtém-se
.
Portanto a raiz aproximada com 3 dígitos significativos é
. Já respondemos também se há outra raiz: não — a raiz é única pelo argumento da monotonicidade.
Passo 6
(Resposta à letra b) Convergência do método do ponto fixo com
e
.
- Derivada:
e . - Observe que
mapeia em , porque para tem-se . - Note que sobre o subintervalo
a constante de Lipschitz (supremo de ) é
Logo
é uma contração em
, e o método do ponto fixo converge para a única solução sempre que a iteração entrar nesse intervalo.
- Com
temos e . A partir de as iterações ficam em , onde é contração, portanto a sequência converge para o ponto fixo (a raiz). - Conclusão: sim, com
o método do ponto fixo converge (de facto de maneira rápida após as primeiras iterações).
Passo 7
(Resposta à letra c) Número mínimo de iterações
do método da bissecção para erro menor que
em
.
Usando a cota
com
, pede-se o menor
tal que
Isto dá
logo o menor inteiro
que satisfaz é
. Verificação: para
a cota é
, e para
a cota é
. Portanto são necessárias no mínimo
iterações.
Resposta
(a) raiz
(3 dígitos significativos). Não há outra raiz.
(b) Sim, o método do ponto fixo com e
converge.
(c) .
(b) Sim, o método do ponto fixo com
(c)