Explique por que a equação e^{-x}=x admite uma solução no intervalo [0,1].
(a) Use o método da bissecção para encontrar a raiz com 3 dígitos significativos. É possível mostrar que não há outra raiz?
(b) Tomando \varphi(x)=e^{-x} como função de iteração e x_{0}=0 como chute inicial, o Método do Ponto Fixo converge?
(c) Qual o número mínimo de iterações k que será realizado pelo algoritmo do método da bissecção para que o erro seja menor que 10^{-8}, iniciando as iterações no intervalo [0,1] ?

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a equação e^{-x}=x no intervalo [0,1]:
  • mostrar que existe uma solução em [0,1];
  • (a) usar o método da bissecção para aproximar essa raiz com 3 dígitos significativos e perguntar se existe outra raiz;
  • (b) analisar a convergência do método do ponto fixo usando \varphi(x)=e^{-x} com x_{0}=0;
  • (c) calcular o número mínimo de iterações k do método da bissecção para que o erro seja menor que 10^{-8} começando em [0,1].
Informações dadas e que vamos usar:
  • a função relevante é f(x)=e^{-x}-x;
  • intervalo inicial para bissecção: [0,1];
  • tolerância para (a): obter 3 dígitos significativos;
  • tolerância para (c): erro <10^{-8}.

Passo 2

Existência de solução em [0,1] (Teorema do Valor Intermediário).
Defina f(x)=e^{-x}-x. Calcula-se
f(0)=e^{0}-0=1>0,
f(1)=e^{-1}-1\approx0{,}3678794412-1=-0{,}6321205588<0.
Como f é contínua (produto e soma de funções contínuas) e f(0) e f(1) têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um c\in(0,1) tal que f\text{(c)}=0. Logo existe solução em [0,1].

Passo 3

Unicidade da raiz.
Calcule a derivada
f'(x)=-e^{-x}-1.
Para todo x\in\mathbb{R} tem-se -e^{-x}-1<0, isto é, f' é estritamente negativa em toda a reta real. Assim f é estritamente decrescente, logo não pode ter duas raízes distintas (se tivesse, uma função estritamente decrescente cortaria o eixo x no máximo uma vez). Conclui-se que existe exatamente uma raiz real de f(x)=0, portanto a solução em [0,1] é única.

Passo 4

Explicação do método da bissecção e critério para 3 dígitos significativos.
  • Ideia do método: dado um intervalo [a,b] com f(a)f(b)<0, calcula-se o ponto médio m=(a+b)/2. Substitui-se o extremo cujos sinais de f coincidem por m e repete-se, reduzindo o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração até a tolerância desejada.
  • Cota de erro: após n iterações o comprimento do intervalo é (b-a)/2^{n} e o erro absoluto na aproximação pelo ponto médio satisfaz
\lvert x_n - x^\ast\rvert \le \frac{b-a}{2^{n+1}},
onde x^\ast é a raiz real.
  • Como converter “3 dígitos significativos” em tolerância absoluta: para garantir que o arredondamento do valor obtido dê os 3 algarismos significativos corretos, basta exigir erro absoluto menor ou igual a 0{,}5\times10^{-3}=5\times10^{-4}. Assim tomaremos tolerância \mathrm{tol}=5\times10^{-4}.
Usando (b-a)=1 e a fórmula de erro:
\frac{1}{2^{n+1}}\le 5\times10^{-4}\quad\Rightarrow\quad 2^{n+1}\ge 2000.
Calcula-se \log_{2}(2000)\approx10{,}9658, logo n+1\ge10{,}9658 e o menor n inteiro que satisfaz é n=10. Portanto são necessárias 10 iterações para garantir a precisão pedida.

Passo 5

Executando 10 iterações da bissecção (mostrando intervalos, pontos médios e sinal de f; valores de f aproximados numericamente):
  • iteração 1: [a,b]=[0,1], m_{1}=0{,}5, f(m_{1})\approx0{,}1065306597>0 → novo intervalo [0{,}5,1].
  • iteração 2: [0{,}5,1], m_{2}=0{,}75, f(m_{2})\approx-0{,}2776334473<0 → novo intervalo [0{,}5,0{,}75].
  • iteração 3: [0{,}5,0{,}75], m_{3}=0{,}625, f(m_{3})\approx-0{,}08973857<0 → novo intervalo [0{,}5,0{,}625].
  • iteração 4: [0{,}5,0{,}625], m_{4}=0{,}5625, f(m_{4})\approx0{,}0072828247>0 → novo intervalo [0{,}5625,0{,}625].
  • iteração 5: [0{,}5625,0{,}625], m_{5}=0{,}59375, f(m_{5})\approx-0{,}041564\;<0 → novo intervalo [0{,}5625,0{,}59375].
  • iteração 6: [0{,}5625,0{,}59375], m_{6}=0{,}578125, f(m_{6})\approx-0{,}017409\;<0 → novo intervalo [0{,}5625,0{,}578125].
  • iteração 7: [0{,}5625,0{,}578125], m_{7}=0{,}5703125, f(m_{7})\approx-0{,}0046625\;<0 → novo intervalo [0{,}5625,0{,}5703125].
  • iteração 8: [0{,}5625,0{,}5703125], m_{8}=0{,}56640625, f(m_{8})\approx0{,}00130375>0 → novo intervalo [0{,}56640625,0{,}5703125].
  • iteração 9: [0{,}56640625,0{,}5703125], m_{9}=0{,}568359375, f(m_{9})\approx-0{,}00168\;<0 → novo intervalo [0{,}56640625,0{,}568359375].
  • iteração 10: [0{,}56640625,0{,}568359375], m_{10}=0{,}5673828125, f(m_{10})\approx-0{,}00018\;<0 → novo intervalo [0{,}56640625,0{,}5673828125].
Após 10 iterações, o ponto médio m_{10}=0{,}5673828125 é uma aproximação cuja distância ao valor exato é menor que 5\times10^{-4} (de fato \lvert m_{10}-x^\ast\rvert\le 2^{-11}\approx4{,}88\times10^{-4}). Arredondando m_{10} com 3 dígitos significativos obtém-se 0{,}567.
Portanto a raiz aproximada com 3 dígitos significativos é 0{,}567. Já respondemos também se há outra raiz: não — a raiz é única pelo argumento da monotonicidade.

Passo 6

(Resposta à letra b) Convergência do método do ponto fixo com \varphi(x)=e^{-x} e x_{0}=0.
  • Derivada: \varphi'(x)=-e^{-x} e \lvert\varphi'(x)\rvert=e^{-x}.
  • Observe que \varphi mapeia [0,1] em [e^{-1},1]\subset[0,1], porque para x\in[0,1] tem-se e^{-1}\le e^{-x}\le1.
  • Note que sobre o subintervalo [e^{-1},1] a constante de Lipschitz (supremo de \lvert\varphi'\rvert) é
L=\max_{x\in[e^{-1},1]} e^{-x}=e^{-e^{-1}}\approx0{,}6922<1.
Logo \varphi é uma contração em [e^{-1},1], e o método do ponto fixo converge para a única solução sempre que a iteração entrar nesse intervalo.
  • Com x_{0}=0 temos x_{1}=\varphi(0)=1 e x_{2}=\varphi(1)=e^{-1}. A partir de x_{2} as iterações ficam em [e^{-1},1], onde \varphi é contração, portanto a sequência \{x_{n}\} converge para o ponto fixo (a raiz).
  • Conclusão: sim, com x_{0}=0 o método do ponto fixo converge (de facto de maneira rápida após as primeiras iterações).

Passo 7

(Resposta à letra c) Número mínimo de iterações k do método da bissecção para erro menor que 10^{-8} em [0,1].
Usando a cota \lvert x_{n}-x^\ast\rvert\le\frac{b-a}{2^{n+1}} com (b-a)=1, pede-se o menor n tal que
\frac{1}{2^{n+1}}<10^{-8}.
Isto dá
n+1>\log_{2}(10^{8})=\frac{8\log(10)}{\log(2)}\approx26{,}575,
logo o menor inteiro n que satisfaz é n=26. Verificação: para n=25 a cota é 2^{-26}\approx1{,}49\times10^{-8}>10^{-8}, e para n=26 a cota é 2^{-27}\approx7{,}45\times10^{-9}<10^{-8}. Portanto são necessárias no mínimo 26 iterações.

Resposta

(a) raiz \approx 0{,}567 (3 dígitos significativos). Não há outra raiz.
(b) Sim, o método do ponto fixo com \varphi(x)=e^{-x} e x_{0}=0 converge.
(c) k=26.

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