Ache o limite:
h) lim (x, y) (0,0) 4 x^2-4 x y+y^22 x-y

Passo 1

Ok, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve limites de funções de várias variáveis, que é um tópico da calculus multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo de caminhos retos, ou seja, definindo , onde é uma constante. Isso simplifica a expressão e nos ajuda a ver se o limite depende da direção que escolhemos para nos aproximar de .

Passo 3

Substituindo 4x^2 - 4x(kx) + (kx)^22x - kx = 4x^2 - 4k x^2 + k^2x^2(2 - k)x na função, temos:
x^2(4 - 4k + k^2)(2 - k)x = x(4 - 4k + k^2)2 - k
Podemos fatorar no numerador:

Passo 4

Agora, ao tomar o limite quando limx to 0 x(4 - 4k + k^2)2 - k = 0 , a expressão fica:
Isso sugere que, para qualquer valor de , o limite ao longo da reta é zero.

Passo 5

No entanto, para termos certeza de que o limite geral existe, precisamos verificar se o resultado é o mesmo quando nos aproximamos de 4x^2 - 0 + 02x - 0 = 4x^22x = 2x por caminhos diferentes que não sejam linhas retas.
Vamos tentar dois caminhos diferentes:
  1. Caminho 1: limx to 0 2x = 0
    Substituindo na função:
    4x^2 - 4x(2x) + (2x)^22x - 2x = 4x^2 - 8x^2 + 4x^20 = 00
  2. Caminho 2:
    Substituindo na função:
    Aqui a expressão fica indeterminada, então precisamos analisar de outra forma.

Passo 6

Vamos considerar a abordagem usando coordenadas polares. Definimos 4(r costheta)^2 - 4(r costheta)(r sintheta) + (r sintheta)^22(r costheta) - r sintheta = r^2(4cos^2theta - 4costheta sintheta + sin^2theta)r(2costheta - sintheta) = r(4cos^2theta - 4costheta sintheta + sin^2theta)2costheta - sintheta e , onde é a distância até a origem e é o ângulo.
Substituindo na função:

Passo 7

Ao tomar o limite quando 4cos^2theta - 4costheta sintheta + sin^2theta2costheta - sintheta , o termo no numerador faz com que todo o limite dependa da expressão:
Isso significa que o valor do limite pode depender do ângulo , ou seja, do caminho pelo qual nos aproximamos de .

Passo 8

Vamos verificar para dois valores de 4(1) - 0 + 02(1) - 0 = 42 = 2 :
  1. 0 - 0 + 10 - 1 = 1-1 = -1 :
  2. :
Como obtemos valores diferentes para o limite ao escolher diferentes , isso mostra que o limite depende do caminho escolhido.

Resposta

O limite não existe porque assume valores diferentes dependendo do caminho de aproximação.

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