Ache o limite:
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Passo 1
Ok, vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve limites de funções de várias variáveis, que é um tópico da calculus multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo de caminhos retos, ou seja, definindo
, onde
é uma constante. Isso simplifica a expressão e nos ajuda a ver se o limite depende da direção que escolhemos para nos aproximar de
.
Passo 3
Substituindo
na função, temos:
Podemos fatorar
no numerador:
Passo 4
Agora, ao tomar o limite quando
, a expressão fica:
Isso sugere que, para qualquer valor de
, o limite ao longo da reta
é zero.
Passo 5
No entanto, para termos certeza de que o limite geral existe, precisamos verificar se o resultado é o mesmo quando nos aproximamos de
por caminhos diferentes que não sejam linhas retas.
Vamos tentar dois caminhos diferentes:
-
Caminho 1:Substituindo na função:
-
Caminho 2:Substituindo na função:Aqui a expressão fica indeterminada, então precisamos analisar de outra forma.
Passo 6
Vamos considerar a abordagem usando coordenadas polares. Definimos
e
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo.
Substituindo na função:
Passo 7
Ao tomar o limite quando
, o termo
no numerador faz com que todo o limite dependa da expressão:
Isso significa que o valor do limite pode depender do ângulo
, ou seja, do caminho pelo qual nos aproximamos de
.
Passo 8
Vamos verificar para dois valores de
:
-
: -
:
Como obtemos valores diferentes para o limite ao escolher diferentes
, isso mostra que o limite depende do caminho escolhido.
Resposta
O limite não existe porque assume valores diferentes dependendo do caminho de aproximação.