Mostre que a sequência dada é, a partir de um certo termo, estritamente crescente ou estritamente decrescente.
nn^2+10n=1^+infty

Passo 1

O problema pede para mostrar que a sequência an=nn^2+10 é, a partir de um certo termo, estritamente monótona (crescente ou decrescente). O conteúdo é monotonicidade de sequência, e vamos usar o teste da diferença an+1-an para determinar o comportamento.

Passo 2

Definimos a diferença entre termos consecutivos:
an+1-an=n+1(n+1)^2+10-nn^2+10
Nossa meta é estudar o sinal dessa expressão.

Passo 3

Vamos reduzir ao mesmo denominador e simplificar o numerador:
an+1-an=(n+1)(n^2+10)-nl((n+1)^2+10r)(n^2+10)l((n+1)^2+10r)
Calculando o numerador, obtemos
(n^3+n^2+10n+10)-(n^3+2n^2+11n)=-n^2-n+10=-(n^2+n-10)

Passo 4

Para saber quando an+1-an<0, basta exigir
n^2+n-10>0
As raízes da equação n^2+n-10=0 são -1pmraiz412, e o maior valor é aproximadamente 2,70. Logo, para todo inteiro n>=3, vale n^2+n-10>0, ou seja,
an+1-an<0

Passo 5

Portanto, a partir de n=3, a diferença an+1-an é negativa, o que significa que a sequência passa a ser estritamente decrescente.

Passo 6

Em resumo, a sequência tfracnn^2+10 cresce até o termo n=3 e, a partir de n=3, é estritamente decrescente.

Resposta

Para todo n>=3, an+1-an<0, logo a sequência é estritamente decrescente a partir do termo de índice 3.

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