Mostre que a sequência dada é, a partir de um certo termo, estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Passo 1
O problema pede para mostrar que a sequência
é, a partir de um certo termo, estritamente monótona (crescente ou decrescente). O conteúdo é monotonicidade de sequência, e vamos usar o teste da diferença
para determinar o comportamento.
Passo 2
Definimos a diferença entre termos consecutivos:
Nossa meta é estudar o sinal dessa expressão.
Passo 3
Vamos reduzir ao mesmo denominador e simplificar o numerador:
Calculando o numerador, obtemos
Passo 4
Para saber quando
, basta exigir
As raízes da equação
Passo 5
Portanto, a partir de
, a diferença
é negativa, o que significa que a sequência passa a ser estritamente decrescente.
Passo 6
Em resumo, a sequência
cresce até o termo
e, a partir de
, é estritamente decrescente.
Resposta
Para todo
,
, logo a sequência é estritamente decrescente a partir do termo de índice 3.