Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada ê verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Qualquer sequência limitada converge.
Qualquer sequência limitada converge.
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos verificar a afirmação “Qualquer sequência limitada converge”. O tema é sequências numéricas reais, vamos usar definições de sequência limitada e de convergência para testar a validade.
Passo 2
Definição de sequência limitada e convergente: uma sequência
é limitada se existe
tal que
para todo
. Dizemos que
converge para
se, para todo
, existe
tal que
sempre que
.
Passo 3
Contraexemplo de sequência limitada não convergente: considere
. Temos
para todo
, logo
é limitada.
Passo 4
Verificação da não convergência: os termos de
alternam entre
e
, então não existe nenhum
tal que
para todo
e
suficientemente grande. A sequência nunca se aproxima de um único valor.
Passo 5
Conclusão: como encontramos uma sequência limitada que não converge, a afirmação dada é refutada.
Resposta
Falso.