Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada ê verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Qualquer sequência limitada converge.

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos verificar a afirmação “Qualquer sequência limitada converge”. O tema é sequências numéricas reais, vamos usar definições de sequência limitada e de convergência para testar a validade.

Passo 2

Definição de sequência limitada e convergente: uma sequência (an) é limitada se existe M>0 tal que |an|<= M para todo n. Dizemos que (an) converge para L se, para todo varepsilon>0, existe NinN tal que |an-L| sempre que n>= N.

Passo 3

Contraexemplo de sequência limitada não convergente: considere an = (-1)^n. Temos |an|=1 para todo n, logo (an) é limitada.

Passo 4

Verificação da não convergência: os termos de (an) alternam entre 1 e -1, então não existe nenhum L tal que |an-L| para todo varepsilon<1 e n suficientemente grande. A sequência nunca se aproxima de um único valor.

Passo 5

Conclusão: como encontramos uma sequência limitada que não converge, a afirmação dada é refutada.

Resposta

Falso.

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