Ache o limite indicado, se ele existir.
\mathbf{R}(t)=e^{t+1} \mathbf{i}+|t+1| \mathbf{j} ; \lim _{t \rightarrow-1} \mathbf{R}(t)

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\mathbf{R}(t)=e^{t+1}\,\mathbf{i}+|t+1|\,\mathbf{j}
e pede o limite vetorial \lim_{t\to-1}\mathbf{R}(t). Para vetores, o limite existe se existir o limite de cada componente separadamente, ou seja, de e^{t+1} e de |t+1|.

Passo 2

Calculamos o limite da componente em \mathbf{i}:
\lim_{t\to-1}e^{t+1} = e^{(-1)+1} = e^0 = 1,
pois a função exponencial é contínua.

Passo 3

Calculamos o limite da componente em \mathbf{j}:
\lim_{t\to-1}|t+1| = |(-1)+1| = |0| = 0,
já que o valor absoluto é contínuo em todo ponto.

Passo 4

Como ambos os limites existem, o limite vetorial é
\lim_{t\to-1}\mathbf{R}(t) = 1\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j} = \mathbf{i}.

Resposta

\mathbf{i}

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