Ache o limite indicado, se ele existir.
\mathbf{R}(t)=\frac{t^{2}-2 t-3}{t-3} \mathbf{i}+\frac{t^{2}-5 t+6}{t-3} \mathbf{j} ; \lim _{t \rightarrow 3} \mathbf{R}(t)

Passo 1

O enunciado pede \lim_{t\to3}\mathbf{R}(t) para
\mathbf{R}(t)=\frac{t^{2}-2t-3}{t-3}\,\mathbf{i}+\frac{t^{2}-5t+6}{t-3}\,\mathbf{j}.
Trata-se de um limite que gera indeterminação \tfrac{0}{0}, então vamos usar fatoração para simplificar as frações.

Passo 2

Fatoramos os polinômios do numerador:
t^{2}-2t-3=(t+1)(t-3),
t^{2}-5t+6=(t-2)(t-3).
Como o denominador de cada fração é t-3, podemos cancelar esse fator para t\neq3.

Passo 3

Após o cancelamento, para t\neq3 fica
\mathbf{R}(t)=(t+1)\,\mathbf{i}+(t-2)\,\mathbf{j},
que é uma expressão contínua em t=3.

Passo 4

Basta então avaliar em t=3:
\lim_{t\to3}\mathbf{R}(t)=(3+1)\,\mathbf{i}+(3-2)\,\mathbf{j}=4\,\mathbf{i}+\mathbf{j}.

Resposta

\;4\mathbf{i}+\mathbf{j}

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