Ache o limite indicado, se ele existir.
\mathbf{R}(t)=2 \operatorname{sen} t \mathbf{i}+\cos t \mathbf{j} ; \lim _{t \rightarrow \mathbf{x} / 2} \mathbf{R}(t)

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial \mathbf{R}(t) = 2\sin t\,\mathbf{i} + \cos t\,\mathbf{j} e pede o limite \displaystyle \lim_{t\to x/2}\mathbf{R}(t). O conteúdo é limite de função vetorial e continuidade de funções trigonométricas.

Passo 2

As funções \sin t e \cos t são contínuas em \mathbb{R}. Sendo \mathbf{R}(t) combinação linear dessas funções, concluímos que \mathbf{R}(t) também é contínua.

Passo 3

Pelo teorema da continuidade, basta substituir t = x/2 em \mathbf{R}(t). Assim,
\lim_{t\to x/2}\mathbf{R}(t) =2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,\mathbf{i} +\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,\mathbf{j}.

Resposta

2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,\mathbf{i} +\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,\mathbf{j}.

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