Ache o limite:
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(2,3,1)} \frac{y^{2}-4 y+3}{x^{2} z(y-3)}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{(x,y,z)\to(2,3,1)} \frac{y^{2}-4y+3}{x^{2}z(y-3)}.
Informações dadas:
  • O ponto de aproximação é \,(x,y,z)=(2,3,1).
  • A função a ser avaliada é \displaystyle \frac{y^{2}-4y+3}{x^{2}z(y-3)}.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite quando (x,y,z) se aproxima de (2,3,1)?

Passo 2

Verificamos a substituição direta para ver se o limite é imediatamente obtido ou se temos uma indeterminação. Calculando numerador e denominador no ponto:
y^{2}-4y+3\Big|_{(y=3)} = 3^{2}-4\cdot3+3 = 9-12+3 = 0,
x^{2}z(y-3)\Big|_{(x=2,y=3,z=1)} = 2^{2}\cdot1\cdot(3-3)=4\cdot0=0.
Temos a forma \dfrac{0}{0}, que é uma indeterminação — não dá para concluir o limite só pela substituição direta. Precisamos manipular a expressão.

Passo 3

Fatoramos o numerador para tentar eliminar a indeterminação. Para fatorar o polinômio y^{2}-4y+3 procuramos dois números que multiplicam para 3 e somam -4: são -1 e -3. Assim,
y^{2}-4y+3 = (y-1)(y-3).

Passo 4

Substituindo a fatoração na fração obtemos, para y\neq3,
\frac{y^{2}-4y+3}{x^{2}z(y-3)} = \frac{(y-1)(y-3)}{x^{2}z(y-3)} = \frac{y-1}{x^{2}z}.
Essa simplificação é válida em qualquer ponto em que y\neq3. Como o limite considera aproximações a (2,3,1) por valores com y próximos de 3 mas não necessariamente iguais a 3, podemos estudar o limite da função simplificada \dfrac{y-1}{x^{2}z}. Observação teórica rápida: se duas funções coincidem numa vizinhança puncturada do ponto (isto é, coincidem para todos os pontos próximos ao ponto-alvo exceto o próprio ponto), elas têm o mesmo limite no ponto-alvo (se o limite existir).

Passo 5

A função simplificada \dfrac{y-1}{x^{2}z} é contínua no ponto (2,3,1) porque o denominador em (2,3,1) vale 2^{2}\cdot1=4\neq0. Para funções contínuas, o limite ao se aproximar do ponto é simplesmente o valor da função naquele ponto (ou seja, podemos substituir diretamente). Portanto
\lim_{(x,y,z)\to(2,3,1)} \frac{y-1}{x^{2}z} = \frac{3-1}{2^{2}\cdot1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.

Passo 6

Concluímos que o limite original existe e é igual ao valor encontrado após a simplificação: \dfrac{1}{2}. Força aí — a técnica é sempre procurar fatoração que cancele a indeterminação e então usar continuidade para substituir.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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