A função a ser avaliada é \displaystyle \frac{y^{2}-4y+3}{x^{2}z(y-3)}.
A pergunta é: qual é o valor desse limite quando (x,y,z) se aproxima de (2,3,1)?
Passo 2
Verificamos a substituição direta para ver se o limite é imediatamente obtido ou se temos uma indeterminação. Calculando numerador e denominador no ponto:
Temos a forma \dfrac{0}{0}, que é uma indeterminação — não dá para concluir o limite só pela substituição direta. Precisamos manipular a expressão.
Passo 3
Fatoramos o numerador para tentar eliminar a indeterminação. Para fatorar o polinômio y^{2}-4y+3 procuramos dois números que multiplicam para 3 e somam -4: são -1 e -3. Assim,
y^{2}-4y+3 = (y-1)(y-3).
Passo 4
Substituindo a fatoração na fração obtemos, para y\neq3,
Essa simplificação é válida em qualquer ponto em que y\neq3. Como o limite considera aproximações a (2,3,1) por valores com y próximos de 3 mas não necessariamente iguais a 3, podemos estudar o limite da função simplificada \dfrac{y-1}{x^{2}z}. Observação teórica rápida: se duas funções coincidem numa vizinhança puncturada do ponto (isto é, coincidem para todos os pontos próximos ao ponto-alvo exceto o próprio ponto), elas têm o mesmo limite no ponto-alvo (se o limite existir).
Passo 5
A função simplificada \dfrac{y-1}{x^{2}z} é contínua no ponto (2,3,1) porque o denominador em (2,3,1) vale 2^{2}\cdot1=4\neq0. Para funções contínuas, o limite ao se aproximar do ponto é simplesmente o valor da função naquele ponto (ou seja, podemos substituir diretamente). Portanto
Concluímos que o limite original existe e é igual ao valor encontrado após a simplificação: \dfrac{1}{2}. Força aí — a técnica é sempre procurar fatoração que cancele a indeterminação e então usar continuidade para substituir.