Aplicando as regras e as propriedades da derivação, derive as seguintes funções:
f(x)=x^{7}-\frac{5 x^{6}}{3}+\frac{3 x^{5}}{5}-x^{4}+2 x-3

Passo 1

O enunciado fornece a função e pede a sua derivada. A função dada é
f(x)=x^{7}-\frac{5}{3}x^{6}+\frac{3}{5}x^{5}-x^{4}+2x-3.
O que devemos encontrar é f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (explicadinhas com calma):
  • Linearidade da derivada: a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Em forma matemática:
\frac{d}{dx}\bigl(g(x)+h(x)\bigr)=\frac{d}{dx}g(x)+\frac{d}{dx}h(x).
Isto significa que posso derivar termo a termo.
  • Regra do fator constante: se uma função é multiplicada por uma constante c, então a derivada é c vezes a derivada da função:
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot g(x)\bigr)=c\cdot \frac{d}{dx}g(x).
Aqui c é qualquer número fixo (por exemplo \tfrac{5}{3} ou -1).
  • Regra de potência (a mais usada aqui): para um inteiro positivo n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Significado: ao derivar uma potência, multiplica-se pelo expoente n e diminui-se o expoente em uma unidade. Exemplo rápido: \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
  • Derivada de uma função linear e de constante:
\frac{d}{dx}(ax)=a,\qquad \frac{d}{dx}\text{(C)}=0,
onde a e C são constantes. O caso ax é consequência da regra de potência com n=1.
Com essas regras posso derivar cada termo de f(x) separadamente.

Passo 3

Derivando o primeiro termo x^{7} usando a regra de potência:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{7}\bigr)=7x^{6}.

Passo 4

Derivando o segundo termo -\dfrac{5}{3}x^{6}: aplico primeiro o fator constante -\dfrac{5}{3} e depois a regra de potência para x^{6}:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{5}{3}x^{6}\right)=-\frac{5}{3}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{6}\bigr)=-\frac{5}{3}\cdot 6x^{5}.
Agora simplifico o coeficiente:
-\frac{5}{3}\cdot 6 = -\frac{30}{3}=-10,
logo
\frac{d}{dx}\left(-\frac{5}{3}x^{6}\right)=-10x^{5}.

Passo 5

Derivando o terceiro termo \dfrac{3}{5}x^{5}: aplico a mesma ideia:
\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{5}x^{5}\right)=\frac{3}{5}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr)=\frac{3}{5}\cdot 5x^{4}.
Simplificando o coeficiente:
\frac{3}{5}\cdot 5 = 3,
portanto
\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{5}x^{5}\right)=3x^{4}.

Passo 6

Derivando o quarto termo -x^{4}: aqui o coeficiente é -1, então
\frac{d}{dx}\bigl(-x^{4}\bigr)=-1\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=-1\cdot 4x^{3}=-4x^{3}.

Passo 7

Derivando o quinto termo 2x: usando a regra para ax (ou potência com n=1):
\frac{d}{dx}(2x)=2.

Passo 8

Derivando o termo constante -3:
\frac{d}{dx}(-3)=0.

Passo 9

Agora uno todas as derivadas termo a termo (pela linearidade):
f'(x)=7x^{6}-10x^{5}+3x^{4}-4x^{3}+2+0.
Elimino o +0 e escrevo a forma final simplificada:
f'(x)=7x^{6}-10x^{5}+3x^{4}-4x^{3}+2.

Resposta

f'(x)=7x^{6}-10x^{5}+3x^{4}-4x^{3}+2

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