Aplicando as regras e as propriedades da derivação, derive as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado fornece a função e pede a sua derivada. A função dada é
O que devemos encontrar é
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Relembrando as regras que vou usar (explicadinhas com calma):
- Linearidade da derivada: a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Em forma matemática:
Isto significa que posso derivar termo a termo.
- Regra do fator constante: se uma função é multiplicada por uma constante
, então a derivada é vezes a derivada da função:
Aqui
é qualquer número fixo (por exemplo
ou
).
- Regra de potência (a mais usada aqui): para um inteiro positivo
,
Significado: ao derivar uma potência, multiplica-se pelo expoente
e diminui-se o expoente em uma unidade. Exemplo rápido:
.
- Derivada de uma função linear e de constante:
onde
e
são constantes. O caso
é consequência da regra de potência com
.
Com essas regras posso derivar cada termo de
separadamente.
Passo 3
Derivando o primeiro termo
usando a regra de potência:
Passo 4
Derivando o segundo termo
: aplico primeiro o fator constante
e depois a regra de potência para
:
Agora simplifico o coeficiente:
logo
Passo 5
Derivando o terceiro termo
: aplico a mesma ideia:
Simplificando o coeficiente:
portanto
Passo 6
Derivando o quarto termo
: aqui o coeficiente é
, então
Passo 7
Derivando o quinto termo
: usando a regra para
(ou potência com
):
Passo 8
Derivando o termo constante
:
Passo 9
Agora uno todas as derivadas termo a termo (pela linearidade):
Elimino o
e escrevo a forma final simplificada: