De forma geral, dado \epsilon>0 qualquer, determine a partir de qual n \in \mathbb{N} iremos encontrar o valor de r com precisão \epsilon pelo método da bissecção, ou seja, para qual n suficientemente grande teremos \left|r-m_{n}\right|<\epsilon, onde m_{n} é o ponto médio do subintervalo ( a_{n}, b_{n} ) da sequência (observe que esse n envolverá expressão que depende de \epsilon, qualquer que seja \epsilon>0 ). Use o resultado obtido para obter a partir de qual n o valor r garantidamente terá uma precisão de \epsilon=0,001.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto claramente:
  • Há um número real raiz r contido no intervalo inicial (a,b) (ou [a,b]); assume-se que o método da bissecção é aplicado sobre esse intervalo.
  • A cada iteração da bissecção obtém-se um subintervalo (a_{n},b_{n}) que contém r.
  • Denota-se por m_{n} o ponto médio do subintervalo (a_{n},b_{n}).
  • Para um dado \epsilon>0 qualquer, é pedido determinar a partir de qual n\in\mathbb{N} teremos
\left|r-m_{n}\right|<\epsilon.
  • Em seguida, usar esse resultado para o caso \epsilon=0,001.
Não há números concretos para a e b dados no enunciado, portanto a resposta deve ficar em função do comprimento inicial do intervalo b-a.

Passo 2

Entender a evolução do comprimento do intervalo na bissecção.
  • Na iteração inicial o comprimento do intervalo é \,b-a.
  • A cada iteração a bissecção divide o intervalo corrente ao meio, e escolhe o subintervalo que contém r. Logo, depois de uma iteração o comprimento é \dfrac{b-a}{2}, depois de duas iterações é \dfrac{b-a}{2^2}, e assim por diante.
  • Assim, após n iterações o comprimento do subintervalo que contém r é
\ell_{n}= \dfrac{b-a}{2^{n}}.
Explicação pedagógica: isso vem diretamente do fato de que cada passo corta o intervalo ao meio, logo o comprimento é dividido por 2 a cada iteração. Não há necessidade de contar sinais ou posicionamentos, apenas o fator de escala 1/2 por etapa.

Passo 3

Relacionar o erro \left|r-m_{n}\right| com o comprimento do subintervalo.
  • O ponto m_{n} é o ponto médio do subintervalo (a_{n},b_{n}). Num intervalo de comprimento \ell_{n}, qualquer ponto contido no intervalo fica a uma distância no máximo \dfrac{\ell_{n}}{2} do ponto médio.
  • Como r está dentro do subintervalo (a_{n},b_{n}), concluímos
\left|r-m_{n}\right| \le \dfrac{\ell_{n}}{2}.
  • Substituindo \ell_{n}=\dfrac{b-a}{2^{n}} obtemos
\left|r-m_{n}\right| \le \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{b-a}{2^{n}} = \dfrac{b-a}{2^{\,n+1}}.
Didática: portanto o erro máximo ao usar o ponto médio após n iterações decai exponencialmente com fator 2^{n+1}. Esse é o resultado padrão de convergência da bissecção — o erro em função do comprimento inicial.

Passo 4

Transformar a desigualdade de erro em uma condição sobre n.
  • Queremos garantir \left|r-m_{n}\right|<\epsilon. É suficiente exigir a condição mais forte (o limite superior que encontramos):
\dfrac{b-a}{2^{\,n+1}} < \epsilon.
  • Reescrevendo,
2^{\,n+1} > \dfrac{b-a}{\epsilon}.
  • Aplicando logaritmo base 2 (função crescente, mantém desigualdade),
n+1 > \log_{2}\!\left(\dfrac{b-a}{\epsilon}\right).
  • Então
n > \log_{2}\!\left(\dfrac{b-a}{\epsilon}\right) - 1.
  • Como n deve ser um número natural (inteiro), o menor n inteiro que satisfaz essa desigualdade é dado por arredondar para cima (função teto). Uma forma equivalente e mais direta é manipular a desigualdade inicial para obter
2^{\,n} > \dfrac{b-a}{2\epsilon}
e, tomando logaritmo,
n > \log_{2}\!\left(\dfrac{b-a}{2\epsilon}\right).
  • Portanto o menor n inteiro que garante \left|r-m_{n}\right|<\epsilon é
n=\left\lceil \log_{2}\!\left(\dfrac{b-a}{2\epsilon}\right)\right\rceil.
Explicação sobre o teto: a função \lceil x\rceil dá o menor inteiro maior ou igual a x. Como a desigualdade é estrita n> alguma coisa, tomar n=\lceil\cdot\rceil garante que n seja inteiro suficiente.

Passo 5

Reescrever a resposta de forma clara e dar o caso pedido \epsilon=0,001.
  • Em linguagem direta: para qualquer \epsilon>0, se escolhermos
n=\left\lceil \log_{2}\!\left(\dfrac{b-a}{2\epsilon}\right)\right\rceil,
então após n iterações do método da bissecção o ponto médio m_{n} satisfaz \left|r-m_{n}\right|<\epsilon.
  • Aplicando \epsilon=0,001 (note que aqui o separador decimal é a vírgula), obtemos a condição em termos de b-a:
n=\left\lceil \log_{2}\!\left(\dfrac{b-a}{0,002}\right)\right\rceil.
Exemplo numérico (apenas para intuição, não faz parte da resposta exigida): se o intervalo inicial tem comprimento b-a=1, então
n=\left\lceil \log_{2}(500)\right\rceil=\left\lceil 8,9658\ldots\right\rceil=9,
ou seja, 9 iterações garantem precisão 0,001 no erro do ponto médio.

Resposta

n=\left\lceil \log_{2}\!\left(\dfrac{b-a}{2\epsilon}\right)\right\rceil
Para \epsilon=0,001: n=\left\lceil \log_{2}\!\left(\dfrac{b-a}{0,002}\right)\right\rceil

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