De forma geral, dado
qualquer, determine a partir de qual
iremos encontrar o valor de
com precisão
pelo método da bissecção, ou seja, para qual
suficientemente grande teremos
, onde
é o ponto médio do subintervalo (
) da sequência (observe que esse
envolverá expressão que depende de
, qualquer que seja
). Use o resultado obtido para obter a partir de qual
o valor
garantidamente terá uma precisão de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto claramente:
- Há um número real raiz
contido no intervalo inicial (ou ); assume-se que o método da bissecção é aplicado sobre esse intervalo. - A cada iteração da bissecção obtém-se um subintervalo
que contém . - Denota-se por
o ponto médio do subintervalo . - Para um dado
qualquer, é pedido determinar a partir de qual teremos
- Em seguida, usar esse resultado para o caso
.
Não há números concretos para
e
dados no enunciado, portanto a resposta deve ficar em função do comprimento inicial do intervalo
.
Passo 2
Entender a evolução do comprimento do intervalo na bissecção.
- Na iteração inicial o comprimento do intervalo é
. - A cada iteração a bissecção divide o intervalo corrente ao meio, e escolhe o subintervalo que contém
. Logo, depois de uma iteração o comprimento é , depois de duas iterações é , e assim por diante. - Assim, após
iterações o comprimento do subintervalo que contém é
Explicação pedagógica: isso vem diretamente do fato de que cada passo corta o intervalo ao meio, logo o comprimento é dividido por
a cada iteração. Não há necessidade de contar sinais ou posicionamentos, apenas o fator de escala
por etapa.
Passo 3
Relacionar o erro
com o comprimento do subintervalo.
- O ponto
é o ponto médio do subintervalo . Num intervalo de comprimento , qualquer ponto contido no intervalo fica a uma distância no máximo do ponto médio. - Como
está dentro do subintervalo , concluímos
- Substituindo
obtemos
Didática: portanto o erro máximo ao usar o ponto médio após
iterações decai exponencialmente com fator
. Esse é o resultado padrão de convergência da bissecção — o erro em função do comprimento inicial.
Passo 4
Transformar a desigualdade de erro em uma condição sobre
.
- Queremos garantir
. É suficiente exigir a condição mais forte (o limite superior que encontramos):
- Reescrevendo,
- Aplicando logaritmo base
(função crescente, mantém desigualdade),
- Então
- Como
deve ser um número natural (inteiro), o menor inteiro que satisfaz essa desigualdade é dado por arredondar para cima (função teto). Uma forma equivalente e mais direta é manipular a desigualdade inicial para obter
e, tomando logaritmo,
- Portanto o menor
inteiro que garante é
Explicação sobre o teto: a função
dá o menor inteiro maior ou igual a
. Como a desigualdade é estrita
alguma coisa, tomar
garante que
seja inteiro suficiente.
Passo 5
Reescrever a resposta de forma clara e dar o caso pedido
.
- Em linguagem direta: para qualquer
, se escolhermos
então após
iterações do método da bissecção o ponto médio
satisfaz
.
- Aplicando
(note que aqui o separador decimal é a vírgula), obtemos a condição em termos de :
Exemplo numérico (apenas para intuição, não faz parte da resposta exigida): se o intervalo inicial tem comprimento
, então
ou seja, 9 iterações garantem precisão
no erro do ponto médio.
Resposta
Para
: