Descreva o conjunto dos pontos do sistema coordenado x y ou x y z em que f é contínua:
f(x, y)=\sqrt{x} e^{\sqrt{1-y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede: descrever o conjunto dos pontos no plano coordenado x y (ou no espaço x y z, mas a função depende só de x e y) onde a função
f(x,y)=\sqrt{x}\,e^{\sqrt{1-y^{2}}}
é contínua.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função envolve \sqrt{x}, o que exige que x esteja em uma região onde a raiz quadrada é real.
  • A função envolve \sqrt{1-y^{2}}, o que exige que 1-y^{2} seja não negativo.
  • A exponencial e^{(\cdot)} aparece aplicada à \sqrt{1-y^{2}}.

Passo 2

Determinar onde a função está definida (domínio), observando as restrições das raízes:
  • Para \sqrt{x} ser real é necessário
x \ge 0.
  • Para \sqrt{1-y^{2}} ser real é necessário
1-y^{2} \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y^{2} \le 1 \quad\Longleftrightarrow\quad |y| \le 1.
Portanto a função só está definida quando ambas as condições valem simultaneamente.

Passo 3

Agora vou explicar por que, nesses pontos onde f está definida, ela é de fato contínua — e por que não há continuidade fora desse conjunto.
Lembretes sobre continuidade que vou usar (sem jargões):
  • Se uma função g(x) é contínua em um ponto, então pequenas mudanças em x provocam pequenas mudanças em g(x).
  • A raiz quadrada \sqrt{\cdot} é contínua no intervalo [0,\infty).
  • A função polinomial 1-y^{2} é contínua em todo \mathbb{R}.
  • A composição de funções contínuas é contínua: se u é contínua e v é contínua onde u leva os pontos, então v\circ u é contínua.
  • O exponencial e^{t} é contínuo para todo t.
  • O produto de duas funções contínuas é contínuo.
Aplicando isso ao nosso caso:
  • A função g(x)=\sqrt{x} é contínua para x\ge 0.
  • A função p(y)=1-y^{2} é contínua sempre; como p(y)\ge 0 exatamente para |y|\le 1, a composição h(y)=\sqrt{1-y^{2}}=\sqrt{p(y)} é contínua para |y|\le 1.
  • A função y\mapsto e^{h(y)} é composição do exponencial (contínuo sempre) com h (contínuo em |y|\le 1), logo é contínua em |y|\le 1.
  • Finalmente f(x,y)=g(x)\cdot e^{h(y)} é produto de g(x) (contínua em x\ge 0) com e^{h(y)} (contínua em |y|\le 1), logo f é contínua em todo ponto onde ambas as componentes são definidas, isto é, em todo ponto com x\ge 0 e |y|\le 1.
Verificação rápida nas fronteiras (para tirar a insegurança): por exemplo no ponto (0,1) vale f(0,1)=\sqrt{0}\,e^{\sqrt{1-1}}=0. Se (x,y)\to(0,1) com x\ge0 e |y|\le1, tem-se \sqrt{x}\to0 e e^{\sqrt{1-y^{2}}} fica limitada (tende a e^{0}=1 quando y\to1), então o produto tende a 0. Argumentos semelhantes valem para qualquer ponto da fronteira x=0 ou |y|=1. Assim a continuidade vale em toda a região de definição, inclusive nas fronteiras.
Fora dessa região a função não está definida, logo não se fala em continuidade nesses pontos.

Passo 4

Resumo final do raciocínio: a função está definida exatamente quando x\ge 0 e |y|\le 1; nesses pontos é produto e composição de funções contínuas, portanto é contínua em todos esses pontos. Em pontos fora dessa região f não está definida.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\ge 0,\\ |y|\le 1\}

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