Descreva o conjunto dos pontos do sistema coordenado
ou
em que
é contínua:
Passo 1
O enunciado pede: descrever o conjunto dos pontos no plano coordenado
(ou no espaço
, mas a função depende só de
e
) onde a função
é contínua.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função envolve
, o que exige que esteja em uma região onde a raiz quadrada é real. - A função envolve
, o que exige que seja não negativo. - A exponencial
aparece aplicada à .
Passo 2
Determinar onde a função está definida (domínio), observando as restrições das raízes:
- Para
ser real é necessário
- Para
ser real é necessário
Portanto a função só está definida quando ambas as condições valem simultaneamente.
Passo 3
Agora vou explicar por que, nesses pontos onde
está definida, ela é de fato contínua — e por que não há continuidade fora desse conjunto.
Lembretes sobre continuidade que vou usar (sem jargões):
- Se uma função
é contínua em um ponto, então pequenas mudanças em provocam pequenas mudanças em . - A raiz quadrada
é contínua no intervalo . - A função polinomial
é contínua em todo . - A composição de funções contínuas é contínua: se
é contínua e é contínua onde leva os pontos, então é contínua. - O exponencial
é contínuo para todo . - O produto de duas funções contínuas é contínuo.
Aplicando isso ao nosso caso:
- A função
é contínua para . - A função
é contínua sempre; como exatamente para , a composição é contínua para . - A função
é composição do exponencial (contínuo sempre) com (contínuo em ), logo é contínua em . - Finalmente
é produto de (contínua em ) com (contínua em ), logo é contínua em todo ponto onde ambas as componentes são definidas, isto é, em todo ponto com e .
Verificação rápida nas fronteiras (para tirar a insegurança): por exemplo no ponto
vale
. Se
com
e
, tem-se
e
fica limitada (tende a
quando
), então o produto tende a
. Argumentos semelhantes valem para qualquer ponto da fronteira
ou
. Assim a continuidade vale em toda a região de definição, inclusive nas fronteiras.
Fora dessa região a função não está definida, logo não se fala em continuidade nesses pontos.
Passo 4
Resumo final do raciocínio: a função está definida exatamente quando
e
; nesses pontos é produto e composição de funções contínuas, portanto é contínua em todos esses pontos. Em pontos fora dessa região
não está definida.