Ache o limite usando a regra de lHôpital
lim x 0 (1+x)^1 / 5-(1-x)^1 / 5(1+x)^1 / 3-(1-x)^1 / 3

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto0(1+x)^1/5-(1-x)^1/5(1+x)^1/3-(1-x)^1/3
usando a regra de l’Hôpital. O conteúdo principal é a aplicação da regra de l’Hôpital, que diz que, em uma forma indeterminada 0/0, podemos calcular
limxto af(x)g(x)=limxto af'(x)g'(x)
e será necessário usar a derivada de funções potência d/dx,(1pm x)^alpha=pmalpha(1pm x)^alpha-1.

Passo 2

Substituindo diretamente x=0 no numerador e no denominador, vemos que ambos valem
(1+0)^algo-(1-0)^mesmo algo=1-1=0,
portanto temos a forma indeterminada 0/0 e podemos aplicar a regra de l’Hôpital.

Passo 3

Calculamos as derivadas do numerador e do denominador:
Para o numerador,
ddxl[(1+x)^1/5-(1-x)^1/5r] =15(1+x)^-4/5+15(1-x)^-4/5
Para o denominador,
ddxl[(1+x)^1/3-(1-x)^1/3r] =13(1+x)^-2/3+13(1-x)^-2/3

Passo 4

Agora aplicamos o limite xto0 às derivadas:
limxto0(1/5)[(1+x)^-4/5+(1-x)^-4/5](1/3)[(1+x)^-2/3+(1-x)^-2/3] =(1/5)(1+1)(1/3)(1+1) =2/52/3

Passo 5

Basta simplificar a fração resultante:
2/52/3=25times32=35

Resposta

3/5

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