Ache o limite usando a regra de lHôpital
lim x +infty(1+12 x)^x^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxto+inftyl(1+tfrac12xr)^x^2. O conteúdo envolve mudança para a forma exponencial e uso da regra de l’Hôpital em limites indeterminados do tipo 0/0 ou ∞/∞.

Passo 2

Definimos L=limxto+inftyl(1+tfrac12xr)^x^2 e estudamos ln L=limxto+inftyx^2lnl(1+tfrac12xr). Essa expressão tem a forma ∞cdot0, então reescrevemos como fração:
ln L=limxto+inftylnl(1+tfrac12xr)1/x^2

Passo 3

Aplicamos a regra de l’Hôpital diferenciando numerador e denominador:
Numerador: ddxl[ln(1+tfrac12x)r]=-1/(2x^2)1+1/(2x).
Denominador: ddx[1/x^2]=-2/x^3.

Passo 4

A razão fica
-1/(2x^2(1+1/(2x)))-2/x^3=x^34x^2(1+1/(2x))=x4l(1+tfrac12xr)
Como x/(4(1+1/(2x)))to+infty quando xto+infty, temos ln L=+infty.

Passo 5

Logo L=exp(ln L)=exp(+infty)=+infty.

Resposta

+∞

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