Ache o limite usando a regra de lHôpital
Passo 1
Então, vamos resolver o limite:
Estamos trabalhando com limites que resultam em uma forma indeterminada, então vamos usar a regra de l’Hôpital. Para isso, precisamos saber derivar o numerador e o denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar a regra de l’Hôpital. Calculando os limites das funções no numerador e no denominador quando
se aproxima de
:
Então, o numerador fica:
E o denominador:
Como temos a forma
, podemos usar a regra de l’Hôpital, que nos diz que se
é indeterminado, então:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra de l’Hôpital substituindo pelas derivadas encontradas:
Passo 5
Simplificamos a expressão usando a identidade trigonométrica
:
Passo 6
Agora, calculamos o limite:
Resposta
O limite é igual a 4.