Ache o limite usando a regra de lHôpital
lim x pi2 1+cos 2 x1-sen x

Passo 1

Então, vamos resolver o limite:
lim x pi2 1+cos 2 x1-sin x
Estamos trabalhando com limites que resultam em uma forma indeterminada, então vamos usar a regra de l’Hôpital. Para isso, precisamos saber derivar o numerador e o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar a regra de l’Hôpital. Calculando os limites das funções no numerador e no denominador quando cos(2 cdot pi2) = cos pi = -1 se aproxima de 1 + (-1) = 0 :
1 - sin(pi2) = 1 - 1 = 0
Então, o numerador fica:
limx to a f'(x)g'(x)
E o denominador:
Como temos a forma , podemos usar a regra de l’Hôpital, que nos diz que se é indeterminado, então:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador ddx(1) + ddx(cos 2x) = 0 - 2 sin 2x = -2 sin 2x :
ddx(1) - ddx(sin x) = 0 - cos x = -cos x
Derivada do denominador :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra de l’Hôpital substituindo pelas derivadas encontradas:
lim x pi2 -2 sin 2x- cos x = lim x pi2 2 sin 2xcos x

Passo 5

Simplificamos a expressão usando a identidade trigonométrica 2 cdot 2 sin x cos xcos x = 4 sin x cos xcos x = 4 sin x :

Passo 6

Agora, calculamos o limite:
lim x pi2 4 sin x = 4 cdot sin(pi2) = 4 cdot 1 = 4

Resposta

O limite é igual a 4.

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