Encontre uma representação em séries de potências para as seguintes funções e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede para achar a representação em séries de potências de f(x)=
e determinar o intervalo de convergência. O conteúdo principal aqui é usar a série geométrica
. Vamos precisar reescrever f(x) de modo a aplicar essa fórmula.
Passo 2
Primeiro, note que
é exatamente uma forma compatível com a série geométrica, com
. Assim, podemos escrever:
Passo 3
Em seguida, basta multiplicar essa expansão por
para recuperar f(x):
Isso já é a série de potências procurada.
Passo 4
Para determinar o intervalo de convergência, usamos a condição da série geométrica:
com
. Então
Resposta
A série de potências é
e ela converge para