Encontre uma representação em séries de potências para as seguintes funções e determine o intervalo de convergência.
f(x)=x1+2 x^2

Passo 1

O enunciado pede para achar a representação em séries de potências de f(x)= x1+2x^2 e determinar o intervalo de convergência. O conteúdo principal aqui é usar a série geométrica 1/(1r)=sumn=0^infty r^n. Vamos precisar reescrever f(x) de modo a aplicar essa fórmula.

Passo 2

Primeiro, note que 11+2x^2=11-(-2x^2)é exatamente uma forma compatível com a série geométrica, com r=-2x^2. Assim, podemos escrever:
11+2x^2=sumn=0^infty(-2x^2)^n=sumn=0^infty(-1)^n2^n x^2n

Passo 3

Em seguida, basta multiplicar essa expansão por x para recuperar f(x):
f(x)=xcdot11+2x^2=sumn=0^infty(-1)^n2^n x^2n+1
Isso já é a série de potências procurada.

Passo 4

Para determinar o intervalo de convergência, usamos a condição da série geométrica: |r|<1 com r=-2x^2. Então
| -2x^2|<1Longrightarrow2x^2<1Longrightarrow|x|<1raiz2

Resposta

A série de potências é
f(x)=sumn=0^infty(-1)^n2^n x^2n+1,
e ela converge para
|x|<1raiz2

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