Ache o limite usando a regra de lHôpital
lim x 2(5x^2+x-6-1x-2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto2l(5x^2+x-6-1x-2r). Vamos usar regra de l’Hôpital, mas antes precisamos escrever tudo como uma única fração e obter uma forma 0/0.

Passo 2

Observando que x^2+x-6=(x-2)(x+3), fazemos a combinação de frações:
5(x-2)(x+3)-1x-2 =5-(x+3)(x-2)(x+3) =2-x(x-2)(x+3) =-(x-2)(x-2)(x+3)
No ponto x=2 o numerador e o denominador vão a zero, caracterizando a indeterminação 0/0.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, aplicamos a regra de l’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a x.
Numerador: ddx(2-x)=-1.
Denominador: ddxl[(x-2)(x+3)r]=,(x+3)+(x-2)=2x+1.
Assim o limite vira
$$
\lim_{x\to2}\frac{2-x}{(x-2)(x+3)}=\lim_{x\to2}\frac{-1}{2x+1}\n$$

Passo 4

Finalmente, avaliando em x=2 obtemos
$$
\frac{-1}{2\cdot2+1}=\frac{-1}{5}\n$$
Portanto, o limite é -12cdot2+1=-15n.

Resposta

-1/5

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