Mostre que a equação representa uma circunferência e determine o centro e o raio.
x^2+y^2+6 y+2=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação x^2+y^2+6y+2=0 representa uma circunferência e, em seguida, determinar seu centro e raio. O conteúdo é geometria analítica de círculos e vamos usar o método de completar quadrados.

Passo 2

Primeiro, isole os termos em x e em y separadamente:
x^2 + l(y^2 + 6yr) + 2 = 0

Passo 3

Em seguida, complete o quadrado no termo de y. Note que
y^2 + 6y = (y+3)^2 - 9

Passo 4

Substituindo de volta na equação, temos:
x^2 + l((y+3)^2 - 9r) + 2 = 0

Passo 5

Agora simplifique os termos constantes:
x^2 + (y+3)^2 - 9 + 2 = 0
x^2 + (y+3)^2 - 7 = 0

Passo 6

Passe o -7 para o outro lado:
x^2 + (y+3)^2 = 7

Passo 7

Essa é a forma padrão de uma circunferência de centro (h,k) e raio r:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Passo 8

Comparando, vemos que h = 0, k = -3 e r^2 = 7.

Resposta

A equação é de uma circunferência com centro (0, -3) e raio raiz7.

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