Ache os limites \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x), \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x) e \lim _{x \rightarrow a} f(x), caso existam.
f(x)=\frac{|x-4|}{x-4} ; a=4

Passo 1

O enunciado pede três coisas: calcular
\displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x),\;\lim_{x\to a^+} f(x) e \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) para a=4, onde a função é
f(x)=\frac{|x-4|}{x-4}.
Informações relevantes dadas ou imediatamente deduzíveis:
  • A expressão envolve |x-4| e x-4.
  • x=4 faz o denominador x-4 igual a zero, então f(4) não está definida (domínio: x\neq 4).
  • Precisamos achar os limites lateral esquerdo ( x\to4^-), lateral direito ( x\to4^+) e o limite global ( x\to4).

Passo 2

Explicando a definição de valor absoluto e como ela se transforma em uma expressão mais simples: para qualquer número real t\), \[|t|=\begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
Aqui tome t=x-4\]. Então, conforme o sinal de \(x-4:
  • Se x-4\ge 0 (ou seja, x\ge 4), tem-se |x-4|=x-4.
  • Se x-4<0 (ou seja, x<4), tem-se |x-4|=-(x-4).]

Passo 3

Usando a peça acima para simplificar f(x)\) em cada região (atenção: \(x=4\) continua fora do domínio). Para \(x>4\) (ou seja, \(x-4>0\)): \[f(x)=\frac{|x-4|}{x-4}=\frac{x-4}{x-4}=1.
Para x<4 (ou seja, x-4<0):
f(x)=\frac{|x-4|}{x-4}=\frac{-(x-4)}{x-4}=-1.
Em notação compacta:
f(x)=\begin{cases} -1, & x<4,\\[4pt] 1, & x>4. \end{cases}
(Obs.: em (x=4] a função não está definida.)]

Passo 4

Agora calculamos os limites laterais, usando que o limite de uma função constante quando x se aproxima de um ponto é simplesmente essa constante.
Como para todo x suficientemente próximo de 4 pela esquerda vale f(x)=-1, segue que
\lim_{x\to4^-} f(x)=-1.
Como para todo x suficientemente próximo de 4 pela direita vale f(x)=1, segue que
\lim_{x\to4^+} f(x)=1.

Passo 5

Conclusão sobre o limite bilateral \lim_{x\to4} f(x): para que ele exista é preciso que as duas limitações laterais sejam iguais. Aqui temos -1 à esquerda e 1 à direita, que são diferentes. Portanto o limite bilateral não existe. Em linguagem matemática: como
\lim_{x\to4^-} f(x)\neq \lim_{x\to4^+} f(x),
segue que
\lim_{x\to4} f(x)\\ \text{não existe}.ã

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to4^-} f(x)=-1
\displaystyle \lim_{x\to4^+} f(x)=1
\displaystyle \lim_{x\to4} f(x)\\ \text{não existe}ã

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