Determine o limite das funções trigonométricas, se existirem:
\lim _{t \rightarrow \pi^{+}} \frac{\operatorname{sen}(t)}{t-\pi}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite (aproximação pela direita de \pi):
\lim_{t\to\pi^{+}}\frac{\sin t}{t-\pi}.
Informações dadas:
  • A variável t aproxima-se de \pi vindo da direita, isto é t>\pi e t\to\pi.
  • A função considerada é a razão \dfrac{\sin t}{t-\pi}.

Passo 2

Fazer a mudança de variável que simplifica a expressão. Defina
h = t-\pi.
Quando t\to\pi^{+} temos h\to 0^{+}. Reescrevendo \sin t em função de h usando a identidade de soma de ângulos:
\sin(\pi+h)=\sin\pi\cos h+\cos\pi\sin h=0\cdot\cos h+(-1)\sin h=-\sin h.
Portanto a razão fica
\frac{\sin t}{t-\pi}=\frac{\sin(\pi+h)}{h}=\frac{-\sin h}{h}=-\frac{\sin h}{h}.
Logo o limite original é
\lim_{t\to\pi^{+}}\frac{\sin t}{t-\pi}=-\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sin h}{h}.

Passo 3

Agora precisamos determinar \lim_{h\to 0^{+}} \dfrac{\sin h}{h}. Vou provar o resultado clássico \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 usando uma desigualdade geométrica e o teorema do confronto (squeeze theorem). Para 0<h<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade
\sin h < h < \tan h.
Esboço da justificativa geométrica (unidade no círculo trigonométrico): para um ângulo central de medida h em radianos, a área do triângulo inscrito é \tfrac{1}{2}\sin h, a área do setor é \tfrac{1}{2}h e a área do triângulo tangente é \tfrac{1}{2}\tan h. Essas áreas estão em ordem crescente, daí \tfrac{1}{2}\sin h < \tfrac{1}{2}h < \tfrac{1}{2}\tan h, o que dá a desigualdade acima.

Passo 4

A partir de \sin h < h < \tan h (para 0<h<\tfrac{\pi}{2}) fazemos manipulações para obter uma desigualdade para \dfrac{\sin h}{h}. Como \tan h=\dfrac{\sin h}{\cos h} e \sin h>0, divide-se a cadeia por h>0 e por \sin h>0 quando conveniente:
primeiro
\frac{\sin h}{h} < 1,
e segundo, a partir de h<\dfrac{\sin h}{\cos h} seguimos
1 < \frac{\sin h}{h}\cdot\frac{1}{\cos h}
que é equivalente a
\cos h < \frac{\sin h}{h}.
Combinando:
\cos h < \frac{\sin h}{h} < 1\qquad\text{para }0<h<\tfrac{\pi}{2}.
Agora aplicamos o teorema do confronto. Quando h\to 0^{+} temos \cos h\to 1. Como os limites das funções que “apertam” \dfrac{\sin h}{h} são iguais a 1, conclui-se
\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sin h}{h}=1.

Passo 5

Voltando ao limite original, temos por Passo 2 que
\lim_{t\to\pi^{+}}\frac{\sin t}{t-\pi}=-\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sin h}{h}.
Pelo resultado do Passo 4 o limite à direita é 1, então o limite pedido é
-\;1=-1.

Resposta

-1

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