Determine o limite das funções trigonométricas, se existirem:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite (aproximação pela direita de
):
Informações dadas:
- A variável
aproxima-se de vindo da direita, isto é e . - A função considerada é a razão
.
Passo 2
Fazer a mudança de variável que simplifica a expressão. Defina
Quando
temos
. Reescrevendo
em função de
usando a identidade de soma de ângulos:
Portanto a razão fica
Logo o limite original é
Passo 3
Agora precisamos determinar
. Vou provar o resultado clássico
usando uma desigualdade geométrica e o teorema do confronto (squeeze theorem). Para
vale a desigualdade
Esboço da justificativa geométrica (unidade no círculo trigonométrico): para um ângulo central de medida
em radianos, a área do triângulo inscrito é
, a área do setor é
e a área do triângulo tangente é
. Essas áreas estão em ordem crescente, daí
, o que dá a desigualdade acima.
Passo 4
A partir de
(para
) fazemos manipulações para obter uma desigualdade para
. Como
e
, divide-se a cadeia por
e por
quando conveniente:
primeiro
primeiro
e segundo, a partir de
seguimos
que é equivalente a
Combinando:
Agora aplicamos o teorema do confronto. Quando
temos
. Como os limites das funções que “apertam”
são iguais a
, conclui-se
Passo 5
Voltando ao limite original, temos por Passo 2 que
Pelo resultado do Passo 4 o limite à direita é
, então o limite pedido é