Ache os limites lim x a^- f(x), lim x a^+ f(x) e lim x a f(x), caso existam.
Encontre os limites laterais.
\lim _{x \rightarrow-2^{+}} \frac{x}{x+1} \frac{2 x+5}{x^{2}+x}

Passo 1

O enunciado pede os limites laterais
limxto -2^-f(x), limxto -2^+f(x) e o limite limxto -2f(x), sendo
f(x)=xx+1,2x+5x^2+x
O conteúdo aqui é identificação de pontos de descontinuidade, fatoração e simplificação algébrica para testar continuidade em x=-2.

Passo 2

Observe que
x^2+x = x(x+1),
então podemos reescrever
f(x) =xx+1,2x+5x(x+1)

Passo 3

Como xneq0 e xneq-1 excetuando os pontos de descontinuidade originais, cancelam-se os fatores x e x+1 para obter
f(x) =2x+5(x+1)^2,
válida sempre que xneq0 e xneq-1.

Passo 4

Note que x=-2 não está entre os pontos excluídos 0 e -1. Portanto a função simplificada é contínua em x=-2, o que garante que
limxto -2^-f(x) =limxto -2^+f(x) =limxto -2f(x) =f(-2)

Passo 5

Substituindo x=-2 na forma simplificada, obtemos
f(-2) =2(-2)+5(-2+1)^2 =-4+5(-1)^2 =11 =1

Resposta

limxto -2^-f(x)=1, limxto -2^+f(x)=1, limxto -2f(x)=1

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