Ache os limites.
lim x 0 sin x1-cos x

Passo 1

O enunciado pede o limite limxto0dfracsin x1-cos x. O conteúdo aqui é cálculo de limites de funções trigonométricas e vamos precisar usar identidades trigonométricas (no caso, a do cosseno) e o comportamento de funções próximas de zero.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
1-cos x=2sin^2l(tfracx2r)
que é muito útil para simplificar expressões com 1-cos x. Substituindo essa identidade na fração, temos
$$\frac{\sin x}{1-\cos x}=\frac{\sin x}{2\sin^2(\tfrac{x}{2})}.
sin x1-cos x=sin x2sin^2(tfracx2) éçãã\frac{2\sin(\tfrac{x}{2})\cos(\tfrac{x}{2})}{2\sin^2(\tfrac{x}{2})}=\frac{\cos(\tfrac{x}{2})}{\sin(\tfrac{x}{2})}=\cot\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
sin x=2sin(tfracx2)cos(tfracx2)é\lim_{x\to0}\cot\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
$$

Passo 3

Quando x se aproxima de zero, tfracx2 também vai a zero, e cot y=dfraccos ysin y tende a +∞ conforme yto0^+. No limite bilateral, a fração cresce em módulo sem controlar o sinal, mas se considerarmos a aproximação pela direita temos +∞ (pela esquerda dá –∞). Portanto, o limite não é finito e diverge para infinito quando xto0^+, e em módulo cresce sem limite no caso bilateral, logo diverge para infinito.

Passo 4

Observação: não existe um valor real finito para esse limite; ele é infinito.

Resposta

+infty

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