Ache os limites.
Passo 1
O enunciado pede o limite
. O conteúdo aqui é cálculo de limites de funções trigonométricas e vamos precisar usar identidades trigonométricas (no caso, a do cosseno) e o comportamento de funções próximas de zero.
Passo 2
Usamos a identidade trigonométrica
que é muito útil para simplificar expressões com
. Substituindo essa identidade na fração, temos
$$\frac{\sin x}{1-\cos x}=\frac{\sin x}{2\sin^2(\tfrac{x}{2})}.
$$
Passo 3
Quando
se aproxima de zero,
também vai a zero, e
tende a +∞ conforme
. No limite bilateral, a fração cresce em módulo sem controlar o sinal, mas se considerarmos a aproximação pela direita temos +∞ (pela esquerda dá –∞). Portanto, o limite não é finito e diverge para infinito quando
, e em módulo cresce sem limite no caso bilateral, logo diverge para infinito.
Passo 4
Observação: não existe um valor real finito para esse limite; ele é infinito.