Encontre uma transformação linear (geral) f(z)=A z+B que leve a faixa R=(x, y) in C ; 0 e y<0 sobre a faixa (u, v) in C ; u>0 e -1.

Passo 1

O enunciado pede uma aplicação afim f(z)=Az+B que leve a faixa R={0<x<2, y<0} na faixa W={u>0, -1<v<1}. O conteúdo é transformações lineares em C, e vamos usar a propriedade de que f(z)=Az+B manda retas em retas e retas paralelas em retas paralelas.

Passo 2

Observamos que R é delimitada por duas retas verticais (x=0 e x=2) e uma reta horizontal (y=0). Já W é delimitada por duas retas horizontais (v=±1) e uma reta vertical (u=0). Para mapear as duas verticais em horizontais e a horizontal em vertical, a parte linear A precisa rodar os eixos em 90°.

Passo 3

Logo, suponha A=i·k com k>0 e B=B_re+iB_im. Então para z=c+iy (reta vertical x=c) temos Im
f(z)=k
c+B_im, e para z=x+id (reta horizontal y=d) temos Re
f(z)=-k
d+B_re.

Passo 4

Aplicando às fronteiras: em x=0 queremos v=−1 ⇒ k·0+B_im=−1 ⇒ B_im=−1; em x=2 queremos v=1 ⇒ 2k−1=1 ⇒ k=1; em y=0 queremos u=0 ⇒ −k·0+B_re=0 ⇒ B_re=0.

Passo 5

Com isso A=i·1=i e B=0−i, ou seja f(z)=i
z−i. Verificando: para 0<x<2, y<0 temos w=f(z)=−y + i(x−1), de onde u=−y>0 e −1<v=x−1<1, que é exatamente W.

Resposta

Uma escolha que funciona é f(z)=i,z - i.

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