Descubra em qual conjunto as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas. Onde f for diferenciável, encontre sua derivada.
f(z)=r^2 sen(2 theta)+2 i r^2(sen(theta))^2

Passo 1

A questão dá a função em coordenadas polares e pede pra descobrir onde as equações de Cauchy–Riemann (CR) são satisfeitas e, nesses pontos, calcular a derivada de f. O conteúdo é CR e diferenciação complexa, e vamos precisar expressar f em x e y, achar u_x, u_y, v_x, v_y e resolver as CR.

Passo 2

A gente reescreve f em termos de x e y. Como r²= x²+y² e θ=atan2(y,x), temos
u(x,y)=r^2sin(2theta)=2xy,v(x,y)=2r^2sin^2(theta)=2y^2

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
ux=2y, uy=2x,vx=0, vy=4y

Passo 4

As equações de Cauchy–Riemann são
ux=vyRightarrow2y=4y,
uy=-vxRightarrow2x=0

Passo 5

Da primeira vem 2y=4y ⇒ 2y=0 ⇒ y=0. Da segunda vem x=0. Então só no ponto (0,0) as CR valem.

Passo 6

Agora, onde f é diferenciável (no ponto z=0), a derivada complexa é
f'(z)=ux+i,vx
avaliada em (0,0): como u_x(0,0)=0 e v_x(0,0)=0, fica f’(0)=0.

Resposta

As equações de Cauchy–Riemann só valem em z=0, e nesse ponto f’(0)=0.

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