Descubra em qual conjunto as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas. Onde
for diferenciável, encontre sua derivada.
Passo 1
A questão dá a função em coordenadas polares e pede pra descobrir onde as equações de Cauchy–Riemann (CR) são satisfeitas e, nesses pontos, calcular a derivada de f. O conteúdo é CR e diferenciação complexa, e vamos precisar expressar f em x e y, achar u_x, u_y, v_x, v_y e resolver as CR.
Passo 2
A gente reescreve f em termos de x e y. Como r²= x²+y² e θ=atan2(y,x), temos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
As equações de Cauchy–Riemann são
Passo 5
Da primeira vem 2y=4y ⇒ 2y=0 ⇒ y=0. Da segunda vem x=0. Então só no ponto (0,0) as CR valem.
Passo 6
Agora, onde f é diferenciável (no ponto z=0), a derivada complexa é
avaliada em (0,0): como u_x(0,0)=0 e v_x(0,0)=0, fica f’(0)=0.
Resposta
As equações de Cauchy–Riemann só valem em z=0, e nesse ponto f’(0)=0.