Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada, ou seja, calcular
.
Informações relevantes: a função é uma composição (exponencial de uma potência de seno), logo teremos de aplicar a regra da cadeia repetidamente.
Informações relevantes: a função é uma composição (exponencial de uma potência de seno), logo teremos de aplicar a regra da cadeia repetidamente.
Passo 2
Explicando a regra da cadeia de forma clara: se temos uma composição de funções
, a derivada é
Aqui
é a função externa e
a função interna;
é a derivada de
em relação ao seu argumento, e
é a derivada de
em relação a
. Na prática, multiplica-se a derivada da camada externa avaliada na camada interna pela derivada da camada interna. É isso que vamos repetir enquanto houver camadas.
Passo 3
Identificar as camadas da nossa função (quais funções estão compostas):
- Função externa:
, onde . - Função do meio:
, onde . - Função interna:
.
Logo
. Vamos derivar camada por camada, aplicando a regra da cadeia em cada passo.
Passo 4
Derivada da camada externa. Se
, sabemos que
Aplicando a regra da cadeia, ao derivar
obtemos
. Portanto, até agora
Passo 5
Derivada da função do meio. Considere
. A regra básica de potências diz que, para
,
Aplicando isso com
e usando novamente a regra da cadeia, temos
Aqui explicito: substituí
por
, então
vira
, e multiplica-se pela derivada interna
.
Passo 6
Derivada da camada mais interna. Sabemos a derivada do seno:
(Simples lembrança: derivada do seno é cosseno.)
Passo 7
Juntando tudo (multiplicando as derivadas das camadas conforme a regra da cadeia): substituindo o resultado do Passo 5 e do Passo 6 no Passo 4,
Podemos reorganizar os fatores para ficar mais legível:
Interpretando: a exponencial se mantém, e multiplicamos por
(da potência), por
(derivada de
) e por
(derivada de
).
Passo 8
Pequena verificação mental e dica para a prova: sempre que vir
, lembre que a derivada traz de volta
vezes a derivada de “algo”. Se esse “algo” for uma potência de seno, aplique a regra da potência depois a derivada do seno. Essa sequência (exp → potência → seno) é exatamente o que fizemos.