Calcule as seguintes derivadas:
e^{\operatorname{sen}^{3}(x)}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^{\operatorname{sen}^{3}(x)}
e pede a sua derivada, ou seja, calcular \dfrac{d}{dx}f(x).
Informações relevantes: a função é uma composição (exponencial de uma potência de seno), logo teremos de aplicar a regra da cadeia repetidamente.

Passo 2

Explicando a regra da cadeia de forma clara: se temos uma composição de funções \displaystyle y = F(G(x)), a derivada é
\frac{dy}{dx}=F'\big(G(x)\big)\cdot G'(x).
Aqui F é a função externa e G a função interna; F' é a derivada de F em relação ao seu argumento, e G' é a derivada de G em relação a x. Na prática, multiplica-se a derivada da camada externa avaliada na camada interna pela derivada da camada interna. É isso que vamos repetir enquanto houver camadas.

Passo 3

Identificar as camadas da nossa função (quais funções estão compostas):
  • Função externa: F(u)=e^{u}, onde u=\operatorname{sen}^{3}(x).
  • Função do meio: u(v)=v^{3}, onde v=\operatorname{sen}(x).
  • Função interna: v(x)=\operatorname{sen}(x).
Logo f(x)=F\big(u(v(x))\big)=e^{(\operatorname{sen}(x))^{3}}. Vamos derivar camada por camada, aplicando a regra da cadeia em cada passo.

Passo 4

Derivada da camada externa. Se F(u)=e^{u}, sabemos que
F'(u)=e^{u}.
Aplicando a regra da cadeia, ao derivar e^{u(x)} obtemos e^{u(x)}\cdot u'(x). Portanto, até agora
\frac{d}{dx}e^{\operatorname{sen}^{3}(x)}=e^{\operatorname{sen}^{3}(x)}\cdot \frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}^{3}(x)\big).

Passo 5

Derivada da função do meio. Considere u(v)=v^{3}. A regra básica de potências diz que, para t^{3},
\frac{d}{dt}t^{3}=3t^{2}.
Aplicando isso com t=v(x)=\operatorname{sen}(x) e usando novamente a regra da cadeia, temos
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}^{3}(x)\big)=3\operatorname{sen}^{2}(x)\cdot \frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(x)\big).
Aqui explicito: substituí t por \operatorname{sen}(x), então 3t^{2} vira 3\operatorname{sen}^{2}(x), e multiplica-se pela derivada interna \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(x).

Passo 6

Derivada da camada mais interna. Sabemos a derivada do seno:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x).
(Simples lembrança: derivada do seno é cosseno.)

Passo 7

Juntando tudo (multiplicando as derivadas das camadas conforme a regra da cadeia): substituindo o resultado do Passo 5 e do Passo 6 no Passo 4,
\frac{d}{dx}e^{\operatorname{sen}^{3}(x)}=e^{\operatorname{sen}^{3}(x)}\cdot\big(3\operatorname{sen}^{2}(x)\cdot \cos(x)\big).
Podemos reorganizar os fatores para ficar mais legível:
\frac{d}{dx}e^{\operatorname{sen}^{3}(x)}=3\,\operatorname{sen}^{2}(x)\cos(x)\,e^{\operatorname{sen}^{3}(x)}.
Interpretando: a exponencial se mantém, e multiplicamos por 3 (da potência), por \operatorname{sen}^{2}(x) (derivada de v^3) e por \cos(x) (derivada de \operatorname{sen}(x)).

Passo 8

Pequena verificação mental e dica para a prova: sempre que vir e^{\text{algo}}, lembre que a derivada traz de volta e^{\text{algo}} vezes a derivada de “algo”. Se esse “algo” for uma potência de seno, aplique a regra da potência depois a derivada do seno. Essa sequência (exp → potência → seno) é exatamente o que fizemos.

Resposta

\frac{d}{dx}e^{\operatorname{sen}^{3}(x)}=3\,\operatorname{sen}^{2}(x)\cos(x)\,e^{\operatorname{sen}^{3}(x)}

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