Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas:
- A função cuja derivada queremos é
. - Precisamos fornecer a derivada em termos de
. - A função está bem definida somente quando o argumento do logaritmo é positivo, isto é, quando
.
Passo 2
Vamos relembrar uma identidade útil para logaritmos que facilita derivar: mudança de base. Para qualquer base
,
, e qualquer
,
Aplicando isso à nossa função, com
e
, obtemos
Aqui
é uma constante (número), então a derivada da função original será
vezes a derivada de
.
Passo 3
Agora, precisamos saber como derivar
quando
depende de
. A regra é:
desde que
. Explicando por quê: a derivada de
em relação a
é
; aplicando a regra da cadeia, multiplicamos por
, resultando em
. Então, para nossa função,
Passo 4
Agora calculamos
. Aqui usamos a regra da cadeia de novo: se
com
, então
A derivada de
em relação a
é
. Logo
(Comentário extra para fixar: derivada de
em relação a
é
; depois multiplicamos pela derivada do interior
.)
Passo 5
Substituindo o resultado de
na fórmula do passo 3, obtemos
Lembrando que a derivada da função original é
vezes isso (passo 2), concluímos
Passo 6
Podemos simplificar a expressão final escrevendo em termos da cotangente, pois
. Assim a derivada fica
Lembrete importante sobre domínio: essa derivada só faz sentido onde
(para o log estar definido) e, em particular, nunca em pontos onde
(pois aí haveria divisão por zero).