Calcule as seguintes derivadas:
\log _{2}(\operatorname{sen}(2 x))

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
\log_{2}\big(\operatorname{sen}(2x)\big).
Informações relevantes dadas:
  • A função cuja derivada queremos é \log_{2}\big(\operatorname{sen}(2x)\big).
  • Precisamos fornecer a derivada em termos de x.
  • A função está bem definida somente quando o argumento do logaritmo é positivo, isto é, quando \operatorname{sen}(2x)>0.

Passo 2

Vamos relembrar uma identidade útil para logaritmos que facilita derivar: mudança de base. Para qualquer base a>0, a\neq1, e qualquer u>0,
\log_{a}(u)=\frac{\ln(u)}{\ln(a)}.
Aplicando isso à nossa função, com a=2 e u=\operatorname{sen}(2x), obtemos
\log_{2}\big(\operatorname{sen}(2x)\big)=\frac{\ln\big(\operatorname{sen}(2x)\big)}{\ln 2}.
Aqui \ln 2 é uma constante (número), então a derivada da função original será \frac{1}{\ln 2} vezes a derivada de \ln(\operatorname{sen}(2x)).

Passo 3

Agora, precisamos saber como derivar \ln(u(x)) quando u depende de x. A regra é:
\frac{d}{dx}\ln\big(u(x)\big)=\frac{u'(x)}{u(x)},
desde que u(x)>0. Explicando por quê: a derivada de \ln t em relação a t é 1/t; aplicando a regra da cadeia, multiplicamos por dt/dx=u'(x), resultando em u'(x)/u(x). Então, para nossa função,
\frac{d}{dx}\ln\big(\operatorname{sen}(2x)\big)=\frac{\big(\operatorname{sen}(2x)\big)'}{\operatorname{sen}(2x)}.

Passo 4

Agora calculamos \big(\operatorname{sen}(2x)\big)'. Aqui usamos a regra da cadeia de novo: se v(x)=\operatorname{sen}(v) com v=2x, então
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(2x)=\cos(2x)\cdot\frac{d}{dx}(2x).
A derivada de 2x em relação a x é 2. Logo
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(2x)=2\cos(2x).
(Comentário extra para fixar: derivada de \operatorname{sen}(t) em relação a t é \cos(t); depois multiplicamos pela derivada do interior t(x).)

Passo 5

Substituindo o resultado de \big(\operatorname{sen}(2x)\big)' na fórmula do passo 3, obtemos
\frac{d}{dx}\ln\big(\operatorname{sen}(2x)\big)=\frac{2\cos(2x)}{\operatorname{sen}(2x)}.
Lembrando que a derivada da função original é \frac{1}{\ln 2} vezes isso (passo 2), concluímos
\frac{d}{dx}\log_{2}\big(\operatorname{sen}(2x)\big)=\frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{2\cos(2x)}{\operatorname{sen}(2x)}.

Passo 6

Podemos simplificar a expressão final escrevendo em termos da cotangente, pois \cot t=\dfrac{\cos t}{\sin t}. Assim a derivada fica
\frac{2\cos(2x)}{\operatorname{sen}(2x)\,\ln 2}=\frac{2}{\ln 2}\,\cot(2x).
Lembrete importante sobre domínio: essa derivada só faz sentido onde \operatorname{sen}(2x)>0 (para o log estar definido) e, em particular, nunca em pontos onde \operatorname{sen}(2x)=0 (pois aí haveria divisão por zero).

Resposta

\frac{2\cos(2x)}{\operatorname{sen}(2x)\,\ln 2}=\frac{2}{\ln 2}\,\cot(2x)

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