Ache a maior e a menor distância da origem a um ponto da elipse x^{2}+4 y^{2}=16
\begin{aligned} & x^{2}+4 y^{2}=16 \% \text { i6 } \\\ & 1=\frac{x^{2}}{16}+\frac{4 y^{2}}{16} \text { proma } \\\ & \frac{x^{2}}{16}+4 y^{2}=1 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar a maior e a menor distância da origem a um ponto da elipse dada. A informação fornecida é a equação da elipse:
x^{2}+4y^{2}=16.
Ou seja, estamos procurando os pontos (x,y) que pertencem a essa elipse e, entre eles, queremos o máximo e o mínimo do comprimento do segmento que liga a origem (0,0) ao ponto (x,y).

Passo 2

Uma ideia muito útil em problemas de distância é trabalhar com o quadrado da distância, porque minimizar/maximizar a distância é equivalente a minimizar/maximizar o seu quadrado (função monotonicamente crescente para valores positivos). Defino a função distância ao quadrado:
D(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Queremos então os valores extremos de \,D(x,y)\, sujeitos à restrição \,x^{2}+4y^{2}=16.

Passo 3

É prático reescrever a equação da elipse em forma padrão dividindo por 16:
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1.
Dessa forma fica claro que os semi-eixos são a=4 (no eixo x) e b=2 (no eixo y). A parametrização padrão da elipse é
x=4\cos t,\qquad y=2\sin t,
com t variando em [0,2\pi). Vou usar essa parametrização porque transforma o problema com restrição num problema de uma variável (mais simples de manipular sem derivadas complicadas).

Passo 4

Substituo a parametrização na expressão do quadrado da distância:
D(t)=x^{2}+y^{2}=(4\cos t)^{2}+(2\sin t)^{2}=16\cos^{2}t+4\sin^{2}t.
Agora simplifico essa expressão. Agrupo termos:
16\cos^{2}t+4\sin^{2}t=4\bigl(4\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr).
Como \sin^{2}t=1-\cos^{2}t, posso escrever
4\bigl(4\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr)=4\bigl(4\cos^{2}t+(1-\cos^{2}t)\bigr)=4\bigl(3\cos^{2}t+1\bigr).
Portanto
D(t)=4\bigl(1+3\cos^{2}t\bigr)=4+12\cos^{2}t.

Passo 5

Agora analiso D(t)=4+12\cos^{2}t. Como \cos^{2}t varia entre 0 e 1, deduzo:
  • Valor mínimo de D ocorre quando \cos^{2}t=0. Então
D_{\min}=4+12\cdot 0=4,
e a distância mínima é
d_{\min}=\sqrt{D_{\min}}=\sqrt{4}=2.
Os valores de t que dão \cos^{2}t=0 são t=\tfrac{\pi}{2} e t=\tfrac{3\pi}{2}; correspondem aos pontos da elipse (x,y)=(0,2) e (0,-2).
  • Valor máximo de D ocorre quando \cos^{2}t=1. Então
D_{\max}=4+12\cdot 1=16,
e a distância máxima é
d_{\max}=\sqrt{D_{\max}}=\sqrt{16}=4.
Os valores de t que dão \cos^{2}t=1 são t=0 e t=\pi; correspondem aos pontos (x,y)=(4,0) e (x,y)=(-4,0).
Resumo concreto: os pontos mais próximos da origem são (0,\pm 2) com distância 2; os mais distantes são (\pm 4,0) com distância 4.

Passo 6

Comentário sobre método (curtinho e motivador): escolhi a parametrização porque é direta, evita resolver um sistema com multiplicadores de Lagrange e usa apenas identidades trigonométricas simples — é rápido de fazer numa prova. Se preferir, o mesmo resultado é obtido aplicando multiplicadores de Lagrange à função D(x,y) com a restrição x^{2}+4y^{2}=16; isso produziria as mesmas equações críticas e os mesmos pontos extremos.

Resposta

Maior distância: 4
Menor distância: 2

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