Ache a maior e a menor distância da origem a um ponto da elipse
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar a maior e a menor distância da origem a um ponto da elipse dada. A informação fornecida é a equação da elipse:
Ou seja, estamos procurando os pontos
que pertencem a essa elipse e, entre eles, queremos o máximo e o mínimo do comprimento do segmento que liga a origem
ao ponto
.
Passo 2
Uma ideia muito útil em problemas de distância é trabalhar com o quadrado da distância, porque minimizar/maximizar a distância é equivalente a minimizar/maximizar o seu quadrado (função monotonicamente crescente para valores positivos). Defino a função distância ao quadrado:
Queremos então os valores extremos de
sujeitos à restrição
.
Passo 3
É prático reescrever a equação da elipse em forma padrão dividindo por
:
Dessa forma fica claro que os semi-eixos são
(no eixo
) e
(no eixo
). A parametrização padrão da elipse é
com
variando em
. Vou usar essa parametrização porque transforma o problema com restrição num problema de uma variável (mais simples de manipular sem derivadas complicadas).
Passo 4
Substituo a parametrização na expressão do quadrado da distância:
Agora simplifico essa expressão. Agrupo termos:
Como
, posso escrever
Portanto
Passo 5
Agora analiso
. Como
varia entre
e
, deduzo:
- Valor mínimo de
ocorre quando . Então
e a distância mínima é
Os valores de
que dão
são
e
; correspondem aos pontos da elipse
e
.
- Valor máximo de
ocorre quando . Então
e a distância máxima é
Os valores de
que dão
são
e
; correspondem aos pontos
e
.
Resumo concreto: os pontos mais próximos da origem são
com distância
; os mais distantes são
com distância
.
Passo 6
Comentário sobre método (curtinho e motivador): escolhi a parametrização porque é direta, evita resolver um sistema com multiplicadores de Lagrange e usa apenas identidades trigonométricas simples — é rápido de fazer numa prova. Se preferir, o mesmo resultado é obtido aplicando multiplicadores de Lagrange à função
com a restrição
; isso produziria as mesmas equações críticas e os mesmos pontos extremos.
Resposta
Maior distância:
Menor distância:
Menor distância: