Questão 1. Para cada um dos itens abaixo, decida se o limite existe ou não. Caso exista, calcule o seu valor; caso não exista, apresente um argumento que justifique a não existência (como a verificação por caminhos diferentes).
\lim _{(x, y) \rightarrow(1, \pi / 6)} \frac{x \operatorname{sen} y}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede que se decida se o seguinte limite existe e, se existir, que se calcule o valor:
\lim_{(x,y)\to(1,\pi/6)} \frac{x\,\operatorname{sen}y}{x^{2}+1}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x\,\operatorname{sen}y}{x^{2}+1}.
  • O ponto de aproximação é \big(1,\tfrac{\pi}{6}\big).
  • Pergunta: o limite existe? Se sim, qual é o seu valor; se não, justifique a não existência (por exemplo, mostrando caminhos com limites diferentes).

Passo 2

Escolha do método: vou usar a propriedade de continuidade de funções elementares (produto e quociente de funções contínuas, quando o denominador não é zero). Raciocínio: se f for contínua no ponto \big(1,\tfrac{\pi}{6}\big), então o limite quando (x,y)\to(1,\tfrac{\pi}{6}) existe e é simplesmente f\big(1,\tfrac{\pi}{6}\big). Optei por esse método porque a função é formada por operações básicas (multiplicação e divisão) entre funções que conhecemos como contínuas — é o caminho mais direto e elementar para uma prova curta e segura.

Passo 3

Noções usadas (explicação didática):
  • Uma função de duas variáveis é contínua em um ponto se o limite quando (x,y) tende ao ponto existe e coincide com o valor da função no ponto.
  • Teorema prático: funções polinomiais e a função seno são contínuas em todos os pontos; somas, produtos e quocientes (quando o denominador não se anula) de funções contínuas são contínuas.
  • Aqui temos três peças:
    1. A função x (projeção no eixo x) é contínua.
    2. A função \operatorname{sen}y é contínua em todo y.
    3. A função x^{2}+1 é contínua e, importante, seu valor em x=1 é diferente de zero — logo o denominador não se anula no ponto de interesse.
      Esses fatos garantem que f(x,y) é contínua em \big(1,\tfrac{\pi}{6}\big).

Passo 4

Verificação explícita do denominador: calcular o denominador no ponto dado.
x^{2}+1\Big|_{x=1}=1^{2}+1=2,
que é diferente de zero. Portanto o quociente está bem definido no ponto e a propriedade de continuidade por quociente vale.

Passo 5

Avaliação por substituição (já que a função é contínua, o limite é o valor no ponto). Primeiro calcular \operatorname{sen}\big(\tfrac{\pi}{6}\big):
\operatorname{sen}\big(\tfrac{\pi}{6}\big)=\tfrac{1}{2}.
Agora avaliar o numerador e o denominador no ponto \big(1,\tfrac{\pi}{6}\big):
\text{numerador} = x\,\operatorname{sen}y\Big|_{(1,\pi/6)} = 1\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2},
\text{denominador} = x^{2}+1\Big|_{x=1} = 2.
Fazendo a divisão:
\frac{\tfrac{1}{2}}{2} = \tfrac{1}{4}.

Passo 6

Conclusão: a função é contínua em \big(1,\tfrac{\pi}{6}\big) e, portanto, o limite existe e vale o valor da função nesse ponto, que acabamos de calcular como \tfrac{1}{4}. Para conforto: se alguém preferir, pode também verificar aproximando por qualquer caminho (por exemplo x\to1 com y=\pi/6 ou y\to\pi/6 com x=1); em todos os caminhos a substituição dá o mesmo número \tfrac{1}{4}, compatível com a continuidade.

Resposta

\tfrac{1}{4}

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