A derivada parcial \dfrac{\partial C}{\partial x} mede a taxa de variação de C quando x muda e y fica fixo. Similarmente, \dfrac{\partial C}{\partial y} mede a taxa quando y muda e x fica fixo.
Para pequenas variações \Delta x e \Delta y temos a aproximação linear (diferencial):
\Delta C \approx \nabla C(x,y)\cdot(\Delta x,\Delta y)=\frac{\partial C}{\partial x}\,\Delta x+\frac{\partial C}{\partial y}\,\Delta y.
Isto é muito útil na prova: calcula-se as parciais e usa-se essa fórmula para estimar mudanças pequenas no consumo.
O gradiente aponta na direção de aumento mais rápido de C. A magnitude \|\nabla C\| dá a taxa de aumento máximo por unidade de deslocamento no espaço (x,y).
A aproximação linear no ponto (1,2) é
\Delta C \approx 2\,\Delta x + 11\,\Delta y.
Isto significa, em linguagem prática:
Se aumentar a potência x em 1 unidade enquanto mantém y fixo, o consumo C aumenta cerca de 2 unidades.
Se aumentar o tempo y em 1 unidade enquanto mantém x fixo, o consumo C aumenta cerca de 11 unidades.
Conclusão aplicada à eficiência energética: perto de (1,2) o consumo é muito mais sensível a mudanças no tempo de operação do que a mudanças na potência. Para reduzir C efetivamente, reduzir y (tempo) tende a ter impacto maior do que reduzir x em pequena escala. Para aumentar o consumo rapidamente, mover-se na direção (2,11) (ou seja, aumentar sobretudo y).
Passo 8
Cálculo rápido da magnitude do gradiente no ponto (opcional, útil para intuir a taxa máxima):
Isto é a taxa de aumento de C por unidade de deslocamento na direção de máximo crescimento.
Resposta
\nabla C(x,y)=\bigl(4x-y,\;6y-x\bigr) \nabla C(1,2)=(2,\,11)
O gradiente representa a direção e taxa de maior aumento do consumo; perto de (1,2) pequenas variações satisfazem \Delta C\approx2\,\Delta x+11\,\Delta y, ou seja, o consumo é muito mais sensível a mudanças no tempo y do que à potência x.