(Aplicação em Eficiência Energética)
O consumo energético de um sistema pode ser modelado por:
C(x, y)=2 x^{2}+3 y^{2}-x y
onde:
  • x representa a potência utilizada;
  • y representa o tempo de operação.
Determine:
a) o vetor gradiente de C(x, y);
b) o vetor gradiente no ponto ( 1,2 ).
Interprete o significado do gradiente no contexto energético.

Passo 1

O enunciado dá a função de consumo energético
C(x,y)=2x^{2}+3y^{2}-xy,
onde x é potência usada e y é tempo de operação. Pede-se:
  • (a) o vetor gradiente de C(x,y);
  • (b) o vetor gradiente no ponto (1,2);
  • (c) interpretar o significado físico do gradiente no contexto energético.
As informações relevantes são: a expressão algébrica de C (pegada do enunciado) e o ponto (1,2) onde avaliar o gradiente.

Passo 2

O que é o gradiente e como calculá-lo (aula rápida):
  • O gradiente de uma função de duas variáveis C(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais de C em relação às variáveis:
\nabla C(x,y)=\left(\frac{\partial C}{\partial x},\;\frac{\partial C}{\partial y}\right).
  • A derivada parcial \dfrac{\partial C}{\partial x} mede a taxa de variação de C quando x muda e y fica fixo. Similarmente, \dfrac{\partial C}{\partial y} mede a taxa quando y muda e x fica fixo.
  • Para pequenas variações \Delta x e \Delta y temos a aproximação linear (diferencial):
\Delta C \approx \nabla C(x,y)\cdot(\Delta x,\Delta y)=\frac{\partial C}{\partial x}\,\Delta x+\frac{\partial C}{\partial y}\,\Delta y.
Isto é muito útil na prova: calcula-se as parciais e usa-se essa fórmula para estimar mudanças pequenas no consumo.

Passo 3

Calcular a derivada parcial em relação a x:
  • Derivando termo a termo:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(2x^{2}) = 2\cdot 2x = 4x.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(3y^{2}) = 0 porque y é tratado como constante.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(-xy) = -y (pois é igual a -1\cdot y).
  • Somando:
\frac{\partial C}{\partial x}=4x-y.

Passo 4

Calcular a derivada parcial em relação a y:
  • Derivando termo a termo:
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(2x^{2}) = 0.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(3y^{2}) = 3\cdot 2y = 6y.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(-xy) = -x.
  • Somando:
\frac{\partial C}{\partial y}=6y-x.

Passo 5

Escrever o vetor gradiente geral juntando as parciais:
\nabla C(x,y)=\bigl(4x-y,\;6y-x\bigr).
Expliquei cada passo para você poder repetir isso na prova: calcule as parciais separadamente e coloque-as como coordenadas do vetor.

Passo 6

Avaliar o gradiente no ponto (1,2):
  • Substituindo x=1 e y=2 em cada componente:
    • \dfrac{\partial C}{\partial x}\Big|_{(1,2)} = 4\cdot1-2=2.
    • \dfrac{\partial C}{\partial y}\Big|_{(1,2)} = 6\cdot2-1=12-1=11.
  • Portanto:
\nabla C(1,2)=(2,\,11).

Passo 7

Interpretação física (didática e prática):
  • O gradiente aponta na direção de aumento mais rápido de C. A magnitude \|\nabla C\| dá a taxa de aumento máximo por unidade de deslocamento no espaço (x,y).
  • A aproximação linear no ponto (1,2) é
\Delta C \approx 2\,\Delta x + 11\,\Delta y.
Isto significa, em linguagem prática:
  • Se aumentar a potência x em 1 unidade enquanto mantém y fixo, o consumo C aumenta cerca de 2 unidades.
  • Se aumentar o tempo y em 1 unidade enquanto mantém x fixo, o consumo C aumenta cerca de 11 unidades.
  • Conclusão aplicada à eficiência energética: perto de (1,2) o consumo é muito mais sensível a mudanças no tempo de operação do que a mudanças na potência. Para reduzir C efetivamente, reduzir y (tempo) tende a ter impacto maior do que reduzir x em pequena escala. Para aumentar o consumo rapidamente, mover-se na direção (2,11) (ou seja, aumentar sobretudo y).

Passo 8

Cálculo rápido da magnitude do gradiente no ponto (opcional, útil para intuir a taxa máxima):
\|\nabla C(1,2)\|=\sqrt{2^{2}+11^{2}}=\sqrt{4+121}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\approx11{,}18.
Isto é a taxa de aumento de C por unidade de deslocamento na direção de máximo crescimento.

Resposta

\nabla C(x,y)=\bigl(4x-y,\;6y-x\bigr)
\nabla C(1,2)=(2,\,11)
O gradiente representa a direção e taxa de maior aumento do consumo; perto de (1,2) pequenas variações satisfazem \Delta C\approx2\,\Delta x+11\,\Delta y, ou seja, o consumo é muito mais sensível a mudanças no tempo y do que à potência x.

Exercícios relacionados