(Aplicação em Energia Eólica)
A energia produzida por uma turbina eólica pode ser aproximada por:
\mathrm{E}(v, \mathrm{t})=0,5 v^{3} \mathrm{t}
onde:
  • E é a energia produzida;
  • v é a velocidade do vento;
  • t é o tempo de funcionamento.
Calcule:
\frac{\partial E}{\partial t}

Passo 1

O enunciado nos dá a fórmula da energia produzida por uma turbina em função da velocidade do vento e do tempo:
\mathrm{E}(v,t)=0,5\,v^{3}\,t.
As informações relevantes que temos:
  • \mathrm{E} é a energia produzida;
  • v é a velocidade do vento (variável que aparece na fórmula);
  • t é o tempo de funcionamento (variável com respeito à qual queremos diferenciar).
    O que o problema pede: calcular \dfrac{\partial \mathrm{E}}{\partial t}, isto é, a derivada parcial de \mathrm{E} em relação a t.

Passo 2

O que é uma derivada parcial?
Quando uma função depende de duas (ou mais) variáveis, a derivada parcial em relação a uma delas mede como a função varia quando só essa variável muda, mantendo as outras fixas. A notação é \dfrac{\partial}{\partial t} quando derivamos em relação a t.
Exemplo rápido e intuitivo: se f(x,y)=3xy, ao calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante, logo \dfrac{\partial f}{\partial x}=3y. É a mesma ideia aqui: ao derivar em relação a t vamos tratar v como constante.

Passo 3

Observando a fórmula dada, \mathrm{E}(v,t)=0,5\,v^{3}\,t, note que 0,5\,v^{3} é um fator que depende só de v. Para a derivada parcial em relação a t esse fator é uma constante multiplicativa. Lembre-se da regra básica:
  • Se g(t)=C\cdot t com C constante, então g'(t)=C.
Aqui, C=0,5\,v^{3}.

Passo 4

Aplicando a regra direta:
\frac{\partial \mathrm{E}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\bigl(0,5\,v^{3}\,t\bigr) = 0,5\,v^{3}\cdot\frac{\partial t}{\partial t} = 0,5\,v^{3}\cdot 1 = 0,5\,v^{3}.
Também se pode escrever a mesma resposta como \dfrac{1}{2}v^{3}, se preferir fração.

Passo 5

Interpretação física curta (útil para prova): \dfrac{\partial \mathrm{E}}{\partial t} é a taxa de variação da energia em relação ao tempo — isto é, a potência instantânea produzida pela turbina. O resultado mostra que a potência depende apenas de v e é 0,5\,v^{3}. Assim, se o vento dobrar de velocidade, a potência sobe por um fator 2^{3}=8 (isso é um fato importante e aparece muito em problemas de energia eólica).
Força e ânimo: você já tem a técnica — para derivada parcial, trate as outras variáveis como constantes e aplique as regras básicas de derivação. Dá para fazer isso rápido na prova.

Resposta

\frac{\partial \mathrm{E}}{\partial t}=0,5\,v^{3}

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