(Aplicação em Energia Eólica)
A energia produzida por uma turbina eólica pode ser aproximada por:
onde:
- E é a energia produzida;
-
é a velocidade do vento;
- t é o tempo de funcionamento.
Calcule:
Passo 1
O enunciado nos dá a fórmula da energia produzida por uma turbina em função da velocidade do vento e do tempo:
As informações relevantes que temos:
-
é a energia produzida; -
é a velocidade do vento (variável que aparece na fórmula); -
é o tempo de funcionamento (variável com respeito à qual queremos diferenciar).
O que o problema pede: calcular, isto é, a derivada parcial de em relação a .
Passo 2
O que é uma derivada parcial?
Quando uma função depende de duas (ou mais) variáveis, a derivada parcial em relação a uma delas mede como a função varia quando só essa variável muda, mantendo as outras fixas. A notação é quando derivamos em relação a
.
Quando uma função depende de duas (ou mais) variáveis, a derivada parcial em relação a uma delas mede como a função varia quando só essa variável muda, mantendo as outras fixas. A notação é
Exemplo rápido e intuitivo: se
, ao calcular
tratamos
como constante, logo
. É a mesma ideia aqui: ao derivar em relação a
vamos tratar
como constante.
Passo 3
Observando a fórmula dada,
, note que
é um fator que depende só de
. Para a derivada parcial em relação a
esse fator é uma constante multiplicativa. Lembre-se da regra básica:
- Se
com constante, então .
Aqui,
.
Passo 4
Aplicando a regra direta:
Também se pode escrever a mesma resposta como
, se preferir fração.
Passo 5
Interpretação física curta (útil para prova):
é a taxa de variação da energia em relação ao tempo — isto é, a potência instantânea produzida pela turbina. O resultado mostra que a potência depende apenas de
e é
. Assim, se o vento dobrar de velocidade, a potência sobe por um fator
(isso é um fato importante e aparece muito em problemas de energia eólica).
Força e ânimo: você já tem a técnica — para derivada parcial, trate as outras variáveis como constantes e aplique as regras básicas de derivação. Dá para fazer isso rápido na prova.