Ache o maior valor da função f(x, y)=log x y-2 x-3 y no quadrante x>0, y>0 e mostre que ela não tem mínimo.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o maior valor da função
f(x,y)=log(xy)-2x-3y
no domínio x>0, y>0, e mostrar que não existe mínimo. Para isso, vamos usar o gradiente para achar pontos críticos e o teste da Hessiana para caracterizar máximo ou mínimo. Em seguida, examinaremos o comportamento de f para ver que não há valor mínimo.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial fpartial x=1x-2,
partial fpartial y=1y-3
Impondo partial f/partial x=0 e partial f/partial y=0, obtemos
1x-2=0Rightarrow x=tfrac12,
1y-3=0Rightarrow y=tfrac13
Portanto, o único ponto crítico no domínio é l(tfrac12,tfrac13r).

Passo 3

Avaliamo-os f nesse ponto e verificamos a concavidade:
f!l(tfrac12,tfrac13r) =log!l(tfrac16r)-2cdottfrac12-3cdottfrac13 =log!l(tfrac16r)-2 =-ln 6-2
As segundas derivadas são
fxx=-1x^2<0, fyy=-1y^2<0, fxy=0,
logo a Hessiana é definida negativa e f é estritamente côncava. Isso garante que l(tfrac12,tfrac13r) é um máximo global.

Passo 4

Para ver que não existe mínimo, basta notar que, mantendo y fixo e fazendo xto+infty, o termo -2x domina, de modo que
f(x,y)to -infty
O mesmo ocorre se levarmos yto+infty com x fixo. Assim, inf f=-infty e não há valor mínimo.

Resposta

O maior valor de f em x>0,y>0 é
-2-ln6,
e não existe valor mínimo, pois inf f=-infty.

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