Ache o maior valor da função
no quadrante
e mostre que ela não tem mínimo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos o maior valor da função
no domínio
,
, e mostrar que não existe mínimo. Para isso, vamos usar o gradiente para achar pontos críticos e o teste da Hessiana para caracterizar máximo ou mínimo. Em seguida, examinaremos o comportamento de
para ver que não há valor mínimo.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Impondo
e
, obtemos
Portanto, o único ponto crítico no domínio é
.
Passo 3
Avaliamo-os
nesse ponto e verificamos a concavidade:
As segundas derivadas são
logo a Hessiana é definida negativa e
é estritamente côncava. Isso garante que
é um máximo global.
Passo 4
Para ver que não existe mínimo, basta notar que, mantendo
fixo e fazendo
, o termo
domina, de modo que
O mesmo ocorre se levarmos
com
fixo. Assim,
e não há valor mínimo.
Resposta
O maior valor de
em
é
e não existe valor mínimo, pois
.