Exercício 1.8.4. Considerando diferentes caminhos, demonstre que as funções não possuem limite quando
((x, y) \rightarrow(0,0)).
h(x, y)=xraizx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
h(x,y)=xraizx^2+y^2
não tem limite quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é limites em R^2 e o que precisamos é usar trajetórias diferentes para verificar dependência de caminho.

Passo 2

Vamos primeiro aproximar por y=0 com x>0. Nesse caso
h(x,0)=xraizx^2+0^2=x|x|=1
Portanto, ao nos aproximarmos de (0,0) por dentro do semieixo positivo x, o valor tende a
limxto0^+h(x,0)=1

Passo 3

Agora aproximamos por y=x com x>0. Então
h(x,x)=xraizx^2+x^2 =x|x|raiz2 =1raiz2
Logo, ao nos aproximarmos de (0,0) pela reta y=x, obtemos
limxto0^+h(x,x)=1raiz2

Passo 4

Como pelas duas trajetórias obtivemos limites diferentes ( 1neq 1/raiz2), concluímos que o limite de h(x,y) em (0,0) depende do caminho. Logo, o limite não existe.

Resposta

O limite de h(x,y) quando (x,y)to(0,0) não existe.

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