Exercício 1.8.4. Considerando diferentes caminhos, demonstre que as funções não possuem limite quando
((x, y) \rightarrow(0,0)).
f(x, y)=(x^2-y^2x^2+y^2)^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=(x^2-y^2x^2+y^2)^2
não tem limite quando (x,y)to(0,0). O conteúdo que vamos usar é o conceito de limite de função de duas variáveis e o critério de não-existência de limite: encontrar dois caminhos cujos limites sejam distintos.

Passo 2

Escolhemos o caminho y=0. Substituindo em f vem
f(x,0)=(x^2-0x^2+0)^2 =l(1r)^2=1
Portanto
limxto0f(x,0)=1

Passo 3

Agora escolhemos o caminho y=x. Substituindo em f
f(x,x)=(x^2-x^2x^2+x^2)^2 =(02x^2)^2=0
Logo
limxto0f(x,x)=0

Passo 4

Como ao aproximar (x,y)to(0,0) pelos dois caminhos obtivemos limites diferentes (1 e 0), concluímos que o limite de f(x,y) em (0,0) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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