Exercício 2.3.1. Com a definição de traço, explique a diferença entre traço horizontal e uma curva de nível.

Passo 1

O enunciado pede para distinguir dois conceitos associados a uma superfície dada por ,z=f(x,y),: o traço horizontal e a curva de nível. Vamos usar a definição geral de traço (interseção da superfície com um plano) e a definição de curva de nível (conjunto de pontos do domínio onde a função assume valor constante).

Passo 2

Definição de traço horizontal.
Fixamos um valor kinR e consideramos o plano paralelo ao plano xy de equação
z = k
O traço horizontal da superfície z=f(x,y) nesse plano é a interseção
(x,y,z)inR^3 mid z=f(x,y);cap;(x,y,z)inR^3 mid z=k,
ou seja
(x,y,k)inR^3 mid f(x,y)=k
Esse traço é uma curva em R^3 situada no plano z=k.

Passo 3

Definição de curva de nível.
A curva de nível de ordem k é o conjunto de pontos no plano xy em que a função f vale k, ou seja
(x,y)inR^2 mid f(x,y)=k
Essa curva de nível vive no domínio da função (o plano xy) e não carrega informação explícita da coordenada z.

Passo 4

Comparação e diferença.
  1. O traço horizontal é uma curva em R^3, obtida cortando a superfície pelo plano z=k.
  2. A curva de nível é a projeção desse traço no plano xy, isto é, “a sombra” do traço horizontal quando esquecemos a coordenada z.
  3. Geometricamente, traço horizontal diz onde a superfície se encontra com z=k no espaço; curva de nível diz onde a função assume esse mesmo valor k no domínio.

Resposta

O traço horizontal é a interseção da superfície z=f(x,y) com o plano z=k, formando uma curva em R^3. A curva de nível é a projeção dessa interseção no plano xy, isto é, o conjunto (x,y)mid f(x,y)=k em R^2.

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