Exercício 2.3.1. Com a definição de traço, explique a diferença entre traço horizontal e uma curva de nível.
Passo 1
O enunciado pede para distinguir dois conceitos associados a uma superfície dada por
: o traço horizontal e a curva de nível. Vamos usar a definição geral de traço (interseção da superfície com um plano) e a definição de curva de nível (conjunto de pontos do domínio onde a função assume valor constante).
Passo 2
Definição de traço horizontal.
Fixamos um valor e consideramos o plano paralelo ao plano
de equação
Fixamos um valor
O traço horizontal da superfície
nesse plano é a interseção
ou seja
Esse traço é uma curva em
situada no plano
.
Passo 3
Definição de curva de nível.
A curva de nível de ordem é o conjunto de pontos no plano
em que a função
vale
, ou seja
A curva de nível de ordem
Essa curva de nível vive no domínio da função (o plano
) e não carrega informação explícita da coordenada
.
Passo 4
Comparação e diferença.
- O traço horizontal é uma curva em
, obtida cortando a superfície pelo plano . - A curva de nível é a projeção desse traço no plano
, isto é, “a sombra” do traço horizontal quando esquecemos a coordenada . - Geometricamente, traço horizontal diz onde a superfície se encontra com
no espaço; curva de nível diz onde a função assume esse mesmo valor no domínio.
Resposta
O traço horizontal é a interseção da superfície
com o plano
, formando uma curva em
. A curva de nível é a projeção dessa interseção no plano
, isto é, o conjunto
em
.