Ache \mathbf{R}^{\prime}(t) e \mathbf{R}^{\prime \prime}(t).
\mathbf{R}(t)=\left(t^{2}+4\right)^{-1} \mathbf{i}+\sqrt{1-5 t} \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda de \mathbf{R}(t) = x(t)\,\mathbf{i} + y(t)\,\mathbf{j},
onde
x(t) = (t^{2}+4)^{-1}, \quad y(t) = \sqrt{1-5t} = (1-5t)^{1/2}.
Para resolver vamos usar as regras de derivação de potências compostas (regra da cadeia) e, no caso da segunda derivada de x(t), também a regra do produto.

Passo 2

Calcular \mathbf{R}'(t) = x'(t)\,\mathbf{i} + y'(t)\,\mathbf{j}.
Para x(t)=(t^{2}+4)^{-1} usamos a cadeia:
x'(t) = -1\cdot(t^{2}+4)^{-2}\cdot 2t = -2t\,(t^{2}+4)^{-2}.
Para y(t)=(1-5t)^{1/2} também aplicamos a cadeia:
y'(t) = \tfrac12\,(1-5t)^{-1/2}\cdot(-5) = -\frac{5}{2}\,(1-5t)^{-1/2}.
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\mathbf{R}'(t) = -2t\,(t^{2}+4)^{-2}\,\mathbf{i} -\frac{5}{2}\,(1-5t)^{-1/2}\,\mathbf{j}.

Passo 3

Calcular \mathbf{R}''(t) = x''(t)\,\mathbf{i} + y''(t)\,\mathbf{j}.
Para x'(t)=-2t\,(t^{2}+4)^{-2} usamos produto e cadeia:
x''(t) = -2\,(t^{2}+4)^{-2} +(-2t)\cdot(-2)\,(t^{2}+4)^{-3}\cdot 2t = \frac{2\,(3t^{2}-4)}{(t^{2}+4)^{3}}.
Para y'(t)=-\tfrac{5}{2}\,(1-5t)^{-1/2} aplicamos novamente a cadeia:
y''(t) = -\frac{5}{2}\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)\,(1-5t)^{-3/2}\cdot(-5) = -\frac{25}{4}\,(1-5t)^{-3/2}.

Resposta

\mathbf{R}'(t) = -\frac{2t}{(t^{2}+4)^{2}}\,\mathbf{i} -\frac{5}{2}\,(1-5t)^{-1/2}\,\mathbf{j},
\mathbf{R}''(t) = \frac{2\,(3t^{2}-4)}{(t^{2}+4)^{3}}\,\mathbf{i} -\frac{25}{4}\,(1-5t)^{-3/2}\,\mathbf{j}.

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