Ache \mathbf{R}^{\prime}(t) e \mathbf{R}^{\prime \prime}(t).
\mathbf{R}(t)=\frac{t-1}{t+1} \mathbf{i}+\frac{t-2}{t} \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\mathbf{R}(t)=\frac{t-1}{t+1}\,\mathbf{i} \;+\;\frac{t-2}{t}\,\mathbf{j}
e pede \mathbf{R}'(t) e \mathbf{R}''(t).
Isso envolve derivar cada componente usando a regra do quociente e a regra de potência.

Passo 2

Calculamos primeiro \mathbf{R}'(t). Seja
x(t)=\frac{t-1}{t+1},\quad y(t)=\frac{t-2}{t}.
Para x(t) aplicamos a regra do quociente \bigl(u/v\bigr)'=(u'v - u v')/v^2: u=t-1\implies u'=1, v=t+1\implies v'=1.
x'(t) =\frac{1\cdot(t+1)-(t-1)\cdot1}{(t+1)^2} =\frac{t+1-t+1}{(t+1)^2} =\frac{2}{(t+1)^2}.
Para y(t)=\tfrac{t-2}{t}=1-\tfrac{2}{t} usamos regra de potência em \tfrac{2}{t}=2t^{-1}:
y'(t)=0 -2\cdot(-1)t^{-2}=\frac{2}{t^2}.
Logo
\mathbf{R}'(t) =\frac{2}{(t+1)^2}\,\mathbf{i} +\frac{2}{t^2}\,\mathbf{j}.

Passo 3

Agora derivamos de novo para obter \mathbf{R}''(t).
Para x'(t)=2(t+1)^{-2} usamos regra de potência:
x''(t) =2\cdot(-2)(t+1)^{-3} =-\frac{4}{(t+1)^3}.
Para y'(t)=2t^{-2} temos
y''(t) =2\cdot(-2)t^{-3} =-\frac{4}{t^3}.
Portanto
\mathbf{R}''(t) =-\frac{4}{(t+1)^3}\,\mathbf{i} -\frac{4}{t^3}\,\mathbf{j}.

Resposta

\mathbf{R}'(t) =\frac{2}{(t+1)^2}\,\mathbf{i} +\frac{2}{t^2}\,\mathbf{j},
\mathbf{R}''(t) =-\frac{4}{(t+1)^3}\,\mathbf{i} -\frac{4}{t^3}\,\mathbf{j}.

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