Ache uma matriz inversível
tal que
é uma matriz diagonal, onde:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma matriz invertível
M tal que
seja diagonal, onde
O conteúdo necessário é a diagonalização de matrizes por meio dos seus autovalores e autovetores.
Passo 2
Calcular os autovalores de
A resolvendo
Temos
As raízes são
ou seja
Passo 3
Encontrar um autovetor para
resolvendo
:
Logo, podemos escolher
Para
, resolvemos
:
Então um autovetor é
Passo 4
Formamos a matriz
M cujas colunas são
v1 e
v2 :
Como
det M = -2 neq 0 ,
M é invertível.
Passo 5
Calculamos a inversa de
M pela adjunta:
Passo 6
Verificando a diagonalização:
Portanto, a escolha está correta.
Resposta
que satisfaz
M^-1 A M = diag(7,-1) .