Ache uma matriz inversível M tal que M^-1 A M é uma matriz diagonal, onde:
A=(ll3 & 4 4 & 3)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz invertível M tal que
M^-1 A M
seja diagonal, onde
A = 3 & 4 4 & 3
O conteúdo necessário é a diagonalização de matrizes por meio dos seus autovalores e autovetores.

Passo 2

Calcular os autovalores de A resolvendo
det(A - lambda I) = 0
Temos
det!3-lambda & 4 4 & 3-lambda = (3-lambda)^2 - 4^2 = lambda^2 - 6lambda -7 = 0
As raízes são
lambda = 6 pm raiz36 + 282 = 6 pm 82,
ou seja
lambda1 = 7, lambda2 = -1

Passo 3

Encontrar um autovetor para resolvendo :
Logo, podemos escolher
Para , resolvemos :
Então um autovetor é

Passo 4

Formamos a matriz M cujas colunas são v1 e v2:
M = 1 & 1 1 & -1
Como det M = -2 neq 0, M é invertível.

Passo 5

Calculamos a inversa de M pela adjunta:
M^-1 = 1det M -1 & -1 -1 & 1 = -tfrac12 -1 & -1 -1 & 1 = tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & -tfrac12

Passo 6

Verificando a diagonalização:
M^-1 A M = tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & -tfrac12 3 & 4 4 & 3 1 & 1 1 & -1 = 7 & 0 0 & -1
Portanto, a escolha está correta.

Resposta

M = 1 & 1 1 & -1,
que satisfaz M^-1 A M = diag(7,-1).

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