Ache uma matriz inversível M tal que M^-1 A M é uma matriz diagonal, onde:
A=(lll1 & -3 & 3 3 & 4 & 1 6 & -6 & 2)

Passo 1

O que a gente quer aqui é diagonalizar a matriz
A = 1 & -3 & 3 3 & 4 & 1 6 & -6 & 2
isto é, encontrar uma matriz invertível M cujas colunas sejam três autovetores linearmente independentes de A, de modo que
M^-1AM = D
seja uma matriz diagonal com as autovalores de A nas entradas de sua diagonal.
O conteúdo necessário é o procedimento padrão de diagonalização: (i) achar o polinômio característico e suas raízes lambda1,lambda2,lambda3; (ii) para cada lambdai resolver (A-lambdai I)vi=0 e obter o autovetor vi; (iii) montar
M = l[v1;v2;v3r], D=diag(lambda1,lambda2,lambda3)

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =det 1-lambda & -3 & 3 3 & 4-lambda & 1 6 & -6 & 2-lambda =lambda^3-7lambda^2+11lambda+112
As raízes lambda1,lambda2,lambda3 desse polinômio satisfazem
lambda^3-7lambda^2+11lambda+112=0
Numericamente, uma raiz real simples é
lambda1approx -2,881938,
e as outras duas são um par complexo conjugado
lambda2,3approx 4,940969pm3,8795,i

Passo 3

Para cada
Escolhendo e seu conjugado obtemos dois autovetores complexos .

Passo 4

Definimos então
M = l[v1;v2;v3r], D = diag(lambda1,lambda2,lambda3)
Por construção M é invertível (seus vetores-coluna são LI) e verifica-se
M^-1AM = D,
ou seja, A foi diagonalizada.

Resposta

Uma escolha concreta é, usando aproximações numéricas,
lambda1approx -2,881938, lambda2approx 4,940969+3,8795,i, lambda3=lambda2,
v1approx(-4,6217,;1,;6,983)^T, v2,;v3;autovetores correspondentes a (lambda2,lambda3)
Então
M=l[v1;v2;v3r]
é invertível e satisfaz M^-1AM=diag(lambda1,lambda2,lambda3).

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