P 13.4. Seja A uma matriz real simétrica n times n. Prove que A^2 é definida positiva se e só se A for não singular.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz real simétrica A de ordem n, a matriz A^2 é definida positiva — isto é,
x^T A^2 x > 0para todo xneq0
— se e somente se A for não singular (ou seja, det Aneq0).
Conteúdos que vamos usar: definição de positiva definida e o Teorema Espectral para matrizes simétricas (diagonalização ortogonal).

Passo 2

Mostramos primeiro que, se A^2 é definida positiva, então A é não singular.
Suponha, por absurdo, que A seja singular. Então existe vetor vneq0 tal que
A v = 0
Mas então
v^T A^2 v = (A v)^T (A v) = 0^T 0 = 0,
o que contraria a hipótese de A^2 ser definida positiva (que exige v^T A^2 v>0 para todo vneq0). Logo A não pode ser singular.

Passo 3

Agora mostramos que, se A é não singular, então A^2 é definida positiva.
Como A é real e simétrica e det Aneq0, pelo Teorema Espectral existe matriz ortogonal Q e diagonal D=diag(lambda1,dots,lambdan) com todos lambdaineq0 tais que
A = Q,D,Q^T
Então
A^2 = Q,D,Q^T,Q,D,Q^T = Q,D^2,Q^T,
com D^2=diag(lambda1^2,dots,lambdan^2). Dado xneq0, deixemos y=Q^T x. Como Q é invertível, yneq0. Assim
x^T A^2 x = x^T (Q D^2 Q^T) x = (Q^T x)^T D^2 (Q^T x) = y^T D^2 y = sumi=1^n lambdai^2,yi^2
Cada termo lambdai^2,yi^2 é não negativo e, como yneq0, pelo menos um lambdai^2,yi^2>0. Portanto
x^T A^2 x = sumi=1^n lambdai^2,yi^2 > 0,
o que mostra que A^2 é definida positiva.

Resposta

Concluímos que A^2 é definida positiva se, e somente se, A for não singular.

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