P 13.4. Seja
uma matriz real simétrica
. Prove que
é definida positiva se e só se
for não singular.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz real simétrica
de ordem
, a matriz
é definida positiva — isto é,
— se e somente se
for não singular (ou seja,
).
Conteúdos que vamos usar: definição de positiva definida e o Teorema Espectral para matrizes simétricas (diagonalização ortogonal).
Conteúdos que vamos usar: definição de positiva definida e o Teorema Espectral para matrizes simétricas (diagonalização ortogonal).
Passo 2
Mostramos primeiro que, se
é definida positiva, então
é não singular.
Suponha, por absurdo, que seja singular. Então existe vetor
tal que
Suponha, por absurdo, que
Mas então
o que contraria a hipótese de
ser definida positiva (que exige
para todo
). Logo
não pode ser singular.
Passo 3
Agora mostramos que, se
é não singular, então
é definida positiva.
Como é real e simétrica e
, pelo Teorema Espectral existe matriz ortogonal
e diagonal
com todos
tais que
Como
Então
com
. Dado
, deixemos
. Como
é invertível,
. Assim
Cada termo
é não negativo e, como
, pelo menos um
. Portanto
o que mostra que
é definida positiva.
Resposta
Concluímos que
é definida positiva se, e somente se,
for não singular.