Ache as matrizes 3 \times 3 cujos elementos são definidos pelas seguintes fórmulas:
A_{i j}:=|i-j|.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz de tamanho 3\times3 cujos elementos são definidos pela fórmula
A_{ij}:=|i-j|,
para índices i e j que variam por 1,2,3. O que se pede é escrever explicitamente essa(s) matriz(s) — isto é, calcular cada entrada A_{ij} e montar a matriz A.

Passo 2

Vamos lembrar o que os símbolos significam:
  • A_{ij} é o elemento da matriz A situado na linha i e coluna j.
  • |x| denota o valor absoluto de x: |x|=x se x\ge0 e |x|=-x se x<0. Para pequenos inteiros, |i-j| é simplesmente a diferença em magnitude entre i e j (ou seja, a distância entre os índices).
Aqui i e j assumem os valores 1,2,3. Então basta calcular |i-j| para cada par (i,j) e preencher a matriz linha a linha.

Passo 3

Calcular a primeira linha ( i=1):
A_{11}=|1-1|=0, \qquad A_{12}=|1-2|=|{-1}|=1, \qquad A_{13}=|1-3|=|{-2}|=2.

Passo 4

Calcular a segunda linha ( i=2):
A_{21}=|2-1|=1, \qquad A_{22}=|2-2|=0, \qquad A_{23}=|2-3|=|{-1}|=1.

Passo 5

Calcular a terceira linha ( i=3):
A_{31}=|3-1|=2, \qquad A_{32}=|3-2|=1, \qquad A_{33}=|3-3|=0.

Passo 6

Agora montamos a matriz A com as entradas que calculamos: as linhas são (0,1,2), (1,0,1) e (2,1,0). Assim,
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Observações rápidas e úteis para a prova (apenas para entender o padrão):
  • A matriz é simétrica porque |i-j|=|j-i|, logo A_{ij}=A_{ji}.
  • A diagonal principal é toda zero porque |i-i|=0.
  • É uma matriz “Toeplitz” (constantes nas diagonais secundárias): cada diagonal paralela à principal tem o mesmo valor (ex.: diagonais com deslocamento \pm1 têm valor 1, com deslocamento \pm2 têm valor 2). Isso ajuda a construir matrizes semelhantes rapidamente.

Resposta

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}]

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