Ache as matrizes
cujos elementos são definidos pelas seguintes fórmulas:
.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz de tamanho
cujos elementos são definidos pela fórmula
para índices
e
que variam por
. O que se pede é escrever explicitamente essa(s) matriz(s) — isto é, calcular cada entrada
e montar a matriz
.
Passo 2
Vamos lembrar o que os símbolos significam:
-
é o elemento da matriz situado na linha e coluna . -
denota o valor absoluto de : se e se . Para pequenos inteiros, é simplesmente a diferença em magnitude entre e (ou seja, a distância entre os índices).
Aqui
e
assumem os valores
. Então basta calcular
para cada par
e preencher a matriz linha a linha.
Passo 3
Calcular a primeira linha (
):
Passo 4
Calcular a segunda linha (
):
Passo 5
Calcular a terceira linha (
):
Passo 6
Agora montamos a matriz
com as entradas que calculamos: as linhas são
,
e
. Assim,
Passo 7
Observações rápidas e úteis para a prova (apenas para entender o padrão):
- A matriz é simétrica porque
, logo . - A diagonal principal é toda zero porque
. - É uma matriz “Toeplitz” (constantes nas diagonais secundárias): cada diagonal paralela à principal tem o mesmo valor (ex.: diagonais com deslocamento
têm valor , com deslocamento têm valor ). Isso ajuda a construir matrizes semelhantes rapidamente.