A é uma matriz 4\times4 explícita, com entradas listadas acima.
A incógnita é o escalar k (presumivelmente real), tal que a igualdade matricial ocorra.
Para que A^{2}=kA valha, cada entrada de A^{2} deve ser igual à correspondente de kA.
Passo 2
Vamos lembrar como calcular A^{2}. Por definição,
A^{2}=A\cdot A,
e o elemento na linha i e coluna j de A^{2} é o produto escalar da linha i de A pela coluna j de A. Ou seja, se a linha i de A é (a_{i1},a_{i2},a_{i3},a_{i4}) e a coluna j é (a_{1j},a_{2j},a_{3j},a_{4j})^{T}, então
Agora impondo A^{2}=kA: isso significa igualdade de todas as entradas. Observe a entrada na posição (1,3). Da matriz A temos
A_{13}=0,
mas da matriz A^{2} calculada temos
(A^{2})_{13}=1.
A igualdade matricial exigiria
(A^{2})_{13}=k\cdot A_{13}.
Substituindo os números:
1 = k\cdot 0.
Isto é impossível para qualquer escalar k, porque k\cdot 0=0 sempre. Portanto não existe nenhum k que satisfaça essa igualdade.
Observação extra (útil para prova): basta encontrar uma única posição (i,j) em que A_{ij}=0 mas (A^{2})_{ij}\neq 0 para concluir que não existe k tal que A^{2}=kA, já que então teríamos uma igualdade do tipo nonzero =k\cdot 0, impossível.