Para que valores de k a matriz A^{2}=k A onde:
A=\left(\begin{array}{llll} 2 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar para quais valores de k vale a igualdade matricial
A^{2}=kA
onde foi dada a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A é uma matriz 4\times4 explícita, com entradas listadas acima.
  • A incógnita é o escalar k (presumivelmente real), tal que a igualdade matricial ocorra.
  • Para que A^{2}=kA valha, cada entrada de A^{2} deve ser igual à correspondente de kA.

Passo 2

Vamos lembrar como calcular A^{2}. Por definição,
A^{2}=A\cdot A,
e o elemento na linha i e coluna j de A^{2} é o produto escalar da linha i de A pela coluna j de A. Ou seja, se a linha i de A é (a_{i1},a_{i2},a_{i3},a_{i4}) e a coluna j é (a_{1j},a_{2j},a_{3j},a_{4j})^{T}, então
(A^{2})_{ij}=a_{i1}a_{1j}+a_{i2}a_{2j}+a_{i3}a_{3j}+a_{i4}a_{4j}.
Vou calcular A^{2} linha a linha usando essa regra.

Passo 3

Calcular a primeira linha de A^{2}. A primeira linha de A é (2,1,0,1). As colunas de A são:
\text{col}_1=\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad \text{col}_2=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad \text{col}_3=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad \text{col}_4=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Agora os produtos escalares:
(A^{2})_{11}=2\cdot 2 + 1\cdot 0 + 0\cdot 0 + 1\cdot 0 = 4,
(A^{2})_{12}=2\cdot 1 + 1\cdot 1 + 0\cdot 0 + 1\cdot 0 = 3,
(A^{2})_{13}=2\cdot 0 + 1\cdot 1 + 0\cdot 0 + 1\cdot 0 = 1,
(A^{2})_{14}=2\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0\cdot 0 + 1\cdot 1 = 3.
Logo, a primeira linha de A^{2} é (4,3,1,3).

Passo 4

Calcular as outras linhas de A^{2}.
Segunda linha de A é (0,1,1,0). Fazendo os produtos escalares:
(A^{2})_{21}=0\cdot 2 + 1\cdot 0 + 1\cdot 0 + 0\cdot 0 = 0,
(A^{2})_{22}=0\cdot 1 + 1\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0\cdot 0 = 1,
(A^{2})_{23}=0\cdot 0 + 1\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0\cdot 0 = 1,
(A^{2})_{24}=0\cdot 1 + 1\cdot 0 + 1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.
Portanto a segunda linha de A^{2} é (0,1,1,0), exatamente igual à segunda linha de A.
A terceira linha de A é (0,0,0,0). Multiplicando, a terceira linha de A^{2} será (0,0,0,0).
A quarta linha de A é (0,0,0,1). Multiplicando:
(A^{2})_{41}=0,\quad (A^{2})_{42}=0,\quad (A^{2})_{43}=0,\quad (A^{2})_{44}=1,
isto é, a quarta linha de A^{2} é (0,0,0,1), igual à quarta linha de A.

Passo 5

Juntando tudo, temos
A^{2}=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Agora impondo A^{2}=kA: isso significa igualdade de todas as entradas. Observe a entrada na posição (1,3). Da matriz A temos
A_{13}=0,
mas da matriz A^{2} calculada temos
(A^{2})_{13}=1.
A igualdade matricial exigiria
(A^{2})_{13}=k\cdot A_{13}.
Substituindo os números:
1 = k\cdot 0.
Isto é impossível para qualquer escalar k, porque k\cdot 0=0 sempre. Portanto não existe nenhum k que satisfaça essa igualdade.
Observação extra (útil para prova): basta encontrar uma única posição (i,j) em que A_{ij}=0 mas (A^{2})_{ij}\neq 0 para concluir que não existe k tal que A^{2}=kA, já que então teríamos uma igualdade do tipo nonzero =k\cdot 0, impossível.

Resposta

Não existe valor de k tal que A^{2}=kA.

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