Ache o máximo o mínimo absoluto da função.
f(x)=2 x^3+3 x^2-12 x definida em -3 <= x <= 3.

Passo 1

Enunciado: Temos a função f(x)=2x^3+3x^2-12x definida no intervalo fechado [-3,3]. O objetivo é encontrar os extremos absolutos (máximo e mínimo) nesse intervalo. Para isso, vamos usar derivadas para achar pontos críticos e depois avaliar a função nesses pontos e nos extremos.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Aplicando a regra da potência, temos
f'(x)=ddxl(2x^3+3x^2-12xr)=6x^2+6x-12

Passo 3

Determinamos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
6x^2+6x-12=0Longrightarrow x^2+x-2=0
As raízes são x=-2 e x=1, ambos dentro de [-3,3].

Passo 4

Avaliamos f nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
f(-3)=2(-3)^3+3(-3)^2-12(-3)=9, f(-2)=2(-2)^3+3(-2)^2-12(-2)=20, f(1)=2(1)^3+3(1)^2-12(1)=-7, f(3)=2(3)^3+3(3)^2-12(3)=45

Passo 5

Comparamos os valores obtidos: o menor valor é -7 em x=1 e o maior valor é 45 em x=3.

Resposta

O valor mínimo absoluto é f(1)=-7 em x=1, e o valor máximo absoluto é f(3)=45 em x=3.

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